SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Teorem 8.5. H ve K, sonlu mertebeli bir G grubunun iki alt grubu olsun. Eğer,K ≤ H ≤ G ise bu taktirde [ G : K] = [ G : H ][ H : K]dır.Teorem 8.6. G bir grup ve H, G nin bir alt grubu olsun. Eğer, H nın sol kalansınıfları üstünde tanımlanan çarpma işlemi iyi tanımlı ise o taktirde H nın Gdeki sol kalan sınıflarının kümesi, kalan sınıflarının çarpımı işlemi ile birliktebir grup teşkil eder.Kanıt. a,b ∈ G olmak üzere aH ve bH , G nin iki sol kalan sınıfı olsun.( aH )( bH ) = ( ab)H şeklinde tanımlayacağımız kalan sınıflarının çarpımıişlemi iyi tanımlı, yani elemanların gösteriliş biçiminden bağımsız olsun. Otaktirde;( aH )(( bH )( cH )) = aH (( bc) H ) = ( a( bc))H= (( ab) c)) H = (( ab) H )( cH )= (( aH )( bH ))( cH )olduğundan birleşme özelliği gerçeklenir. ∀a ∈ G için( eH )( aH ) = ( ea)H = aH1olduğundan eH birim elemandır. aH nın inversi a − H dır, çünkü−1 −1( aH )( a H ) = ( aa ) H = eHdır.{ }A ün ( ) ( )Örnek 8.3. a)4H = I, 124 , 142 alt grubuna göre sol ve sağ kalansınıflarına ayrılışlarını bulalım.Çözüm. Önce A4grubunun elemanlarını yazalım.I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( 13)( 24 ),( 14)( 23)⎧⎪, 123 , 132 , 124 , 142 , 134 , 143 , 234 , 243 , 12 34 , ⎫⎪A4= ⎨ ⎬⎪⎩⎪⎭Sol kalan sınıfları:H = { I, ( 124 ),( 142 )},( ) H ( ) ( )( ) ( )( )( ) H ( ) ( )( ) ( )( )( ) H ( ) ( )( ) ( )( ){ } {( ) ( )( ) ( )}{ } {( ) ( ) ( )( )}{ } {( ) ( )( ) ( )}123 = 123 , 123 124 , 123 142 = 123 , 13 24 , 143 ,132 = 132 , 132 124 , 132 142 = 132 , 243 , 14 23 ,134 = 134 , 134 124 , 134 142 = 134 , 12 34 , 234 .Sağ kalan sınıfları:163