SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

f ( x) = ( x − a) q( x) + r( x), der r( x ) < 1olacak şekilde bir tek q( x ) , r( x) ∈ F[ x]polinomları vardır. der r( x ) < 1olduğundan r( x)= c ∈ F şeklinde bir sabittir. Böylece,f ( x) = ( x − a) q( x)+ cyazılabilir. Daha önce tanımladığımız φα: F[ x]→ F homomorfizmasınıkullanarakf ( a) = 0. q( a) + c = 0 ⇒ c = 0buluruz. Bu durumda,f ( x) = ( x − a) q( x)elde ederiz ki, bu bize x − a nın f ( x ) in bir çarpanı olduğunu gösterir.Tersine eğer x − a , f ( x ) in bir çarpanı ise f ( x) = ( x − a) q( x), a ∈ Feşitliğine φαhomomorfizmasını uygulamak suretiylef ( a ) = 0 ve q( a ) = 0buluruz.Sonuç 13.2. n. dereceden sıfırdan farklı bir f ( x) ∈ F[ x]polinomu, Fcisminde en çok n tane sıfıra sahiptir.Kanıt. Sonuç 13.1. den dolayı eğer a1∈ F , f ( x ) in bir sıfırı isef ( x) = ( x − a ) q ( x)yazabiliriz. Burada, der q1( x) = n − 1 olduğu açıktır. Şimdi de a2∈ F , q ( x ) 1in bir sıfırı olsun. Bu durumdaf ( x) = ( x − a )( x − a ) q ( x)1 11 2 2yazabiliriz. Bu şekilde sürdürerek artık qr( x ) , F de sıfıra sahip olmamaküzeref ( x) = ( x − a )( x − a )...( x − a ) q ( x)1 2elde ederiz, burada r ≤ n dir. Ayrıca, ailerin hepsinden farklı bir b ∈ Falırsak bunun içinf ( b) = ( b − a1 )( b − a2)...( b − ar) qr( b) ≠ 0yazılabilir. Çünkü bu ifadede yer alan çarpanlardan hiç birisi F de sıfıra sahipdeğildir. Böylece a1 , a2,..., arler f ( x ) in F deki sıfırlarının tamamınıoluşturur ve bunların sayısı r ≤ n dir.Örnek 13.5. Z [ x]de 4 3 225f ( x) = x − 3x + 2x + 4x− 1 ve g( x) = x − 2x+ 3polinomlarını göz önüne alalım. Bu polinomlar için4 3 2 2 2x − 3x + 2x + 4x − 1 = ( x − 2x + 3)( x − x − 3) + ( x + 8)yazabiliriz, o halderr219