SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

ve 3. x = 1 olduğundanϕ (20) −13x≡ 1(mod 20) ⇒ x ≡ 3 .1(mod 20)bulunur ki, buradanx7 3 2 2⇒ x ≡ 3 ≡ (3 ) .3 ≡ 7 .3 ≡ 9.3 ≡ 7(mod 20)≡7 ≡9−1= (3) = 7 elde edilir.( a, m ) = 1 olmak üzere ax b( mod m)≡ kongrüansının bir x = x1çözümü ,Teorem 4.3. kullanılmadan, aşağıdaki metodlardan biri ile de elde edilebilir.Metod 1: ( a, m ) = 1 olduğundan Teorem 1.2. ye göreax+ my = (4.1)0 01olacak şekilde bir x0, y0tamsayı çifti vardır. Bu tamsayı çifti, a ve mtamsayılarına Öklid algoritması uygulanarak bulunabilir. (4.1) eşitliğinin heriki tarafını b ile çarparsaka( x b) + my b = b ⇒ a( x b) ≡ b mod m0 0 0 ( )bulunur ki, bu ax ≡ b( mod m)kongrüansının çözümünün x ≡ x b( m)0modolduğunu gösterir. Kongrüansı gerçekleyen x lerden herhangi biri x1olarakalınabilir.Örnek 4.6. 21x ≡ 6( mod51)köngrüansının çözümünü bulalım.Çözüm. (21,51) = (3.7,17.3) = 3(7,17) = 3 ve 3 | 6 olduğundan Teorem 4.3. egöre bu kongrüansın çözümü vardır ve çözüm sayısı 3 tür. Kongrüansta 3 ilekısaltma yapılarak7x ≡ 2( mod17)elde edilir. Öklid algoritması ile17 = 2.7 + 37 = 2.3 + 1bulunur ve buradan1 = 7 − 2.31 = 7 − 2(17 − 2.7)1 = 5.7 − 2.17elde edilir. Son eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarparak2 = 10.7 − 4.17 ⇒ 7.10 ≡ 2 mod17( )bulunur ki, buradan 7x ≡ 2( mod17)köngrüansının bir çözümününx ≡ 10( mod17)olduğu görülür. Böylece 21x ≡ 6( mod51)köngrüansınıntüm çözümleri45