SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Kanıt. Eğer kalan sınıflarının çarpımı işlemi iyi tanımlı ise Teorem 8.6. dan Hnın G deki sağ veya sol kalan sınıflarının kümesinin bir grup teşkil edeceğinibiliyoruz. Üstelik, sol ya da sağ kalan sınıflarının oluşturdukları kümeleraslında G nin birer parçalanmasını tanımlayacaklarından her sol kalan sınıfınınaynı zamanda bir sağ kalan sınıfı olması gerektiğini görürüz.Şimdi, tersine her bir sol kalan sınıfının aynı zamanda bir sağ kalan sınıfıolduğunu kabul edelim. O taktirde kalan sınıflarının çarpımı işleminin iyitanımlı olacağını kanıtlayalım. ∀g ∈ G için g ∈ gH olduğundan g yikapsayan sağ kalan sınıfı Hg dir ve bu kalan sınıfı G nin g elemanı sayesindetemsil edilmiştir. O halde ∀g ∈ G için gH = Hg kabul edelim. a1ve a2,aynı aH sol kalan sınıfını, b1ile b2de aynı bH sol kalan sınıfını temsiletsinler. O taktirde a1b 1ile a2b 2nin aynı bir sol kalan sınıfında bulunacağınıkanıtlamalıyız.aH = a1H = a2Hve bH = b1 H = b2Holduğundan h1 , h2∈ H için a1 = a2h1ve b1 = b2h2yazabiliriz. Böylecea1b1 = a2h1b 2h2elde ederiz. Kabulümüze göre b2 H = Hb2olduğundanh1b2= b2h3olacak şekilde bir h3∈ H bulabiliriz. O halde,a1b1 = a2b2 h3 h2veya buradan a1b1 ∈ ( a2b2) H buluruz. Bu sonuç, a1b 1ile a2b 2nin aynı solkalan sınıfında bulunacağını kanıtlar.Şu halde, H nın sol yada sağ kalan sınıflarının kümesinin bir grupoluşturması için ∀g ∈ G için gH = Hg olması gerektiğini elde etmiş olduk.Bu koşul ∀g ∈ G içinşeklinde de ifade edilebilir.∈H−{ }= = | ∈−1 1H gHg ghg h HTanım 8.3. Bir G grubunun kendi üzerine olan bir izomorfizmasına birotomorfizma adı verilir.Teorem 8.8. ig: G → G ,ig( x)gxg −1= şeklinde tanımlı dönüşüm birotomorfizmadır ve bu otomorfizmaya G nin bir iç otomorfizması adı verilir.Bu teoremin kanıtı açıktır.Tanım 8.4. G bir grup ve H, G nin bir alt grubu olsun. Eğer ∀g ∈ G içinH = gHg −1 koşulu gerçekleniyor ise H alt grubuna G nin bir normal alt grubuadı verilir ve H ⊲ G şeklinde yazılır.165