SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

tanımlanabileceğinden P (1,1) = 1 dir. A nın ( n − 1) elemanlı bir alt kümesininsabit tutulacak her bir permütasyonu için A nın n tane permütasyonuoluşturulabileceğinden,P( n, n) = n. P( n −1, n − 1)yazabiliriz. O halde,P(1,1) = 1P(2,2) = 2. P(1,1)P(3,3) = 3. P(2,2)⋮P( n −1, n − 1) = ( n −1). P( n − 2, n − 2)P( n, n) = n. P( n −1, n −1)eşitliklerini taraf tarafa çarpar ve gerekli sadeleştirmeleri yaparsak,elde ederiz.P( n, n) = 1.2.3.4...( n − 1). n = n!Örnek 4.3. Bir ABC eşkenar üçgeninin köşe noktalarına sırası ile 1, 2, 3rakamlarını karşılık getirirsek { 1,2,3 } kümesinin permütasyonları aşağıdakigibi verilir.⎛1 2 3⎞ρ0= ⎜ ⎟⎝1 2 3⎠ , ⎛1 2 3⎞ρ1= ⎜ ⎟⎝ 2 3 1⎠ , ⎛1 2 3⎞ρ2= ⎜ ⎟⎝3 1 2⎠⎛1 2 3⎞µ1= ⎜ ⎟⎝1 3 2⎠ , ⎛1 2 3⎞µ2= ⎜ ⎟⎝3 2 1⎠ , ⎛1 2 3⎞µ2= ⎜ ⎟⎝ 2 1 3⎠ .Bu permütasyonlardan ρ1, ρ2,ρ0sırasıyla üçgenin köşelerinin pozitif yöndeki120, 240 ve 360 derecelik dönmelerine karşılık gelirken; µ1, µ2,µ3deüçgenin sırası ile a, b,c kenarortaylarına göre simetrilerine karşılıkgelmektedir. Böylece, elde edilen γ { ρ , ρ , ρ , µ , µ , µ }= kümesi3 0 1 2 1 2 3permütasyonların çarpımı işlemi ile birlikte bir grup teşkil eder. Bu ( γ3, )grubuna üçgenin simetrilerinin grubu adı verilir. Bu gruba literatürde 3.dihedral grubu da denilmekte ve D3ile gösterilmektedir. Eğer A kümesi nelemanlı ve γn, n kenarlıların simetrilerinin grubu ise bu gruba da n. dihedral127