SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Tanım 9.13. G bir grup ve p bir asal sayı olmak üzere G nin her elemanımertebeli ise G ye bir p-grup adı verilir.rpTeorem 9.11. Sonlu bir G grubunun bir p-grup olması için gerek ve yeterrkoşul G = p olmasıdır.Kanıt. G bir p-grup ve Gr= p m olsun. Burada p m|/ dir. Eğer q | m ise otaktirde G nin, mertebesi q olan bir alt grubu olurdu ve bu alt grup q ≠ polmak üzere mertebesi q olan bir eleman tarafından üretiliyor olurdu. Bu ise Grnin p-grup oluşu ile çelişir. Şu halde m = 1 olmak zorundadır ve G = p dir.Tersine,Gr= p ise bir grubun her elemanının mertebesi grubunmertebesini böleceğinden G nin bir p-grup olduğu elde edilir.−Tanım 9.14. G bir grup ve a ∈ G olsun. N[ a]= { x ∈ G | xax 1 = a}kümesinea nın normalleyeni ( normalizatörü ) denir.−Teorem 9.12. G bir grup ve a ∈ G olsun. N[ a]= { x ∈ G | xax 1 = a}kümesi,−1 −1G nin bir alt grubudur ve x,y ∈ G olmak üzere xax = yay olması içingerek ve yeter koşul x ve y nin N[ a ] nın aynı sol kalan sınıfında olmasıdır.−11Kanıt. b, c ∈ N[ a] ise bab = a , cac− = a yazabiliriz. O halde,olduğundan bc ∈ N[ a]dır. Ayrıca−1b N a bab ab( ) ( ) ( )∈ [ ] ise = ve buradanN[ a]− 1∈ dır. Böylece [ ]−1 −1 −1b cac b = a ⇒ bc a bc = a1eae a e N a− = ise ∈ [ ] dır. Diğer taraftan,= ( ) = olduğundan−1 −1 −1 −1b ab b a b aN a , G nin bir alt grubudur. Üstelik,xax= yay−1 −1−1 −1−1 −1 1ise ( y x) a( x y)= a veya ( y x) a( y x)− −1= a olacağından y x ∈ N[ a]veya x ∈ yN[ a]dır, dolayısıyla x ve y, N[ a ] nın aynı sol kalan sınıfınınelemanı olur.Teoremin karşıt ifadesi benzer biçimde kanıtlanabilir.Sonuç: G sonlu bir grup ve a ∈ G ise o taktirde C[ a ] nın mertebesi G ninmertebesini böler.Örnek 9.14. G bir grup, a ∈ G ise N = N − 1 olduğunu gösterelim.Çözüm. N { g G ag ga},a−1 −1= ∈ = N −1a { g G a g ga }aa= ∈ = dir. N = N − 1olduğunu göstermek için Na⊂ N − 1 ve N −1 ⊂ Naolduğunu göstermeliyiz.aaaa182