SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

iii) k>0koşullarına uyan bir k tamsayısına a ve b nin en küçük ortak katı (e.k.o.k.)denir ve k = [ a, b]şeklinde gösterilir.İkiden fazla tamsayının e.k.o.k. da benzer şekilde tanımlanır.Teorem 1.10. m > 0 olmak üzere [ ma, mb] = m[ a, b]dir.Kanıt. Teorem 1.4. deki gibi yapılır.Örneğin; [ 50,30] = 10[ 5,3]= 10.15 = 150 dir.Şimdi ispatını daha sonra yapacağımız ve aşağıdaki örneğin çözümündekullanacağımız bir özellik yazalım.Özellik: a>0, b>0 ise ( a, b)[ a, b] = a.b dir.Örnek 1.4. ( a, b ) = 10 ve [ a, b ] = 100 koşullarını gerçekleyen bütün pozitifa, b tamsayı çiftlerini bulunuz.Çözüm. ( a, b) = 10 ⇒ 10 | a , 10 | b ⇒ a = 10m, b = 10n; m, n ∈ Z , ( m, n) = 1dir. Çünkü,10 = (10 m,10 n) = 10( m, n) ⇒ ( m, n) = 1olur. Diğer taraftan,[10 m,10 n] = 10[ m, n] = 100 ⇒ [ m, n] = 10ve buradan yukarıdaki özellik kullanılarak( m, n)[ m, n] = [ m, n] = m. n = 10= 1bulunur. Böylece çarpımları 10 olan tamsayı çiftleri, yukarıdaki a = 10m,b = 10ndenklemlerinde m ve n değerleri yerine yazılarak istenen tamsayıçiftleri (10,100) , (20,50) , (50, 20) , (100,10) olarak bulunur.2Örnek 1.5. ( n + n + 1,2n + 7) = d ise d nin alabileceği değerleri bulunuz.22Çözüm. ( n + n + 1,2n + 7) = d ise d | ( n + n + 1) , d | ( 2n+ 7) dir.2d | 2( n + n + 1) ⎫⎪2 2⎬ ⇒ d | ⎡2n + 7 n − (2n + 2n+ 2) ⎤d | n( 2n+ 7)⎣ ⎦= 5n− 2⎪⎭yani d | ( 5n− 2) bulunur. Buradand | ( 5n − 2) ⇒ d | 2( 5n − 2)= 10n− 4 ⎫ ⎪⎬ ⇒ d | ⎡ ⎣10n + 35 − ( 10n− 4)⎤ ⎦ = 39 ,d | ( 2n + 7) ⇒ d | 5 ( 2n + 7)= 10n+ 35⎪⎭yani d | 39 buluruz. 39 = 3.13 ve d > 0 olduğundan d = 1, 3 ,13, 39 olabilir.9