SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

ifadesi x,y ∈ I olmasını gerektirir. Böylece I, V nin bir ideali olur.Teoremin karşıtı kolayca kanıtlanır.Örnek 16.2. F cisminin alt cismi olduğu her K cismi, F üzerinde bir cebirdir.Buna göre, C kompleks sayılar cismi, R reel sayılar cismi üzerinde bir cebiryapısı oluşturur.3Örnek 16.3. E , 3-boyutlu Öklid uzayı , vektörel çarpma işlemi ile bir cebiryapısına sahiptir.Örnek 16.4. Herhangi bir X kümesinden , F cismine olan fonksiyonlarınI ( X , F)kümesi , fonksiyonların bilinen toplamı, çarpımı ve bir sayı ile birfonksiyonun çarpımı işlemlerine göre F cismi üzerinde bir cebirdir. Bu cebirdeğişmeli, birleşmeli ve birim elemanlı bir cebirdir.Örnek 16.5. X bir küme ve 2 X , X in alt kümelerinin kümesi olsun. M ,N ∈ 2 X alt kümeleri içinM ∆ N = ( M − N) ∪ ( N − M )şeklinde tanımlı simetrik fark ve kümelerin kesişimi işlemlerini, sırasıylatoplama ve çarpma işlemleri olarak alırsak bu işlemlere göre 2 X kümesi birhalka yapısına sahip olur. Üstelik bu halka değişmeli ve birleşmelidir. ŞimdiZ2cismini göz önüne alalım. Z2nin elemanları ile 2 X in elemanlarınınçarpımı işlemini de aşağıdaki kurallara göre tanımlarsak 2 X kümesi Z2üzerinde bir cebir yapısı oluşturur:∀M∈ 2 X ve 0, 1∈ Z2için 0M = ∅ , 1M = M .Şimdi F cismi üzerinde tanımlı bir A cebrini göz önüne alalım. A aynızamanda F cismi üzerinde bir vektör uzayıdır. A nın vektör uzayı olarak birbazı { e , e ,..., en}olsun. A nın bu baza göre yazılan iki elemanı1 2na = ∑ aieive b = ∑ bieii=1olsun. Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğini kullanarakni=1n n n nab = a ( e b) = a ( b ( e e )) = a b ( e e )∑ ∑ ∑ ∑i i i j i j i j i ji= 1 i= 1 j= 1 i, j=1yazabiliriz ki, bu sonuç A cebrine ait iki elemanın çarpımının tamamen bazvektörlerin çarpımları sayesinde bulunabileceğini gösterir. Böylece, eğer bazvektörlerin çarpımı değişmeli ise bu durumda A da ki çarpma işlemi de genelolarak değişmeli olur. Bunu gerçeklemek için a,b ∈ A olsun.252