SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

a + b = ( a1 + b1 ) x1 + ( a2 + b2 ) x2+ ... + ( an + bn ) xnveλa = ( λa1 ) x1 + ( λa2 ) x2+ ... + ( λan) xnolduğundan ϕ dönüşümü bir izomorfizmadır.Örnek 15.8. Teorem 15.1. e göre2E ve3E sırasıyla2R ve3R e izomorftur.λ1 , λ2,..., λn ∈ F skalerleri sayesinde bir lineer birleşimλ1a 1+ λ2a2 + ... + λnanşeklinde verilsin. Eğer λ1 = λ2 = ... = λ n= 0 ise bu lineer birleşime aşikar(trivial) aksi durumda aşikar olmayan (non-trivial) bir lineer birleşimdir deriz.Tanım 15.6. V, F cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. a1 , a2,..., an∈ Vvektörlerinin aşikar olmayan bir lineer birleşimi, sıfır vektörüne eşit oluyorsabu vektörlere lineer bağımlıdır, aksi taktirde lineer bağımsızdır denir.Şu halde a1 , a2,..., an∈Vvektörlerinin lineer bağımsız olmasıλ1a 1+ λ2a2 + ... + λnan= 0homojen denklem sisteminin ancak ve ancak sıfır çözüme sahip olmasınaeşdeğer olmaktadır.Örnek 15.9. Sıfırdan farklı bir tek vektörden oluşan bir vektör kümesininlineer bağımsız, sadece sıfır vektöründen oluşan veya sıfır vektörünü içeren birvektör kümesinin ise lineer bağımlı olacağı açıktır. Ayrıca lineer bağımlıvektörleri kapsayan bir vektör kümesinin kendisi de lineer bağımlıdır. Budüşünceyi aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz.Teorem 15.2. V, F cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. n > 1 olmak üzerea1 , a2,..., an∈ V vektörlerinin lineer bağımlı olması için gerek ve yeter koşulbu vektörlerden en az birisinin diğerlerinin bir lineer birleşimi şeklindeyazılabilmesidir.Kanıt. a1 = µ2a2 + ... + µnanolsun. Bu durumda,a1 − µ2a2 −... − µnan= 0yazabiliriz ki, bu a1 , a2,..., anvektörlerinin lineer bağımlı olduğunu gösterir.Tersine, hepsi birden sıfır olmayan λ1 , λ2,..., λnskalerleri içinλ1a 1+ λ2a2 + ... + λnan= 0olsun. λ1 ≠ 0 olduğunu varsayalım. Bu taktirde,λ λa = − a −...− a n2n1 2λ1 λ1244