SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

4. BÖLÜM. PERMÜTASYON GRUPLARITanım 4.1. Sonlu bir A kümesi verilsin. A dan A ya tanımlanan bire-bir veörten bir dönüşüme bir permütasyon adı verilir.{ 1,2,3,..., n}A = kümesini göz önüne alalım. φ : A → A dönüşümü birebirve örten ise A nın bir permütasyonunu tanımlar.Örnek 4.1. A = { 1,2,3}olmak üzere A dan A yaσ (1) = 2 , σ (2) = 3 , σ (3) = 1şeklinde tanımlanan σ fonksiyonu bire-bir ve örten olduğundan A nın birpermütasyonudur. Bu permütasyonu1 2 3σ = ⎛ ⎜ ⎟⎞⎝ 2 3 1⎠şeklinde de gösteririz.γ , A { 1,2,3,..., n}n= kümesinin bütün permütasyonlarının kümesi olsun.γnüstünde permütasyon çarpımı işlemini tanımlarsak, bu işlem ile birlikte γnkümesi bir grup yapısına sahip olur. Bu gruba simetrik grup adı verilir.Gerçekten, iki permütasyon verildiğinde bunların çarpımı yine birpermütasyondur, bunu görmek için çarpımın bire-bir ve örten olduğunukanıtlamalıyız. σ , τ ∈ γnve a1 , a2∈ A olsun.( στ )( a ) ( στ )( a ) ⇒ σ ( τ ( a )) = σ ( τ ( a ))1=21 2⇒ τ ( a ) = τ ( a ) ( σ , bire-bir olduğundan )1 2⇒ a1 = a2( τ , bire-bir olduğundan )elde ederiz, yani στ çarpımı bire-birdir.Şimdi a ∈ A olsun. σ , örten olduğundan σ ( a ') = a olacak şekilde bira ' ∈ A bulabiliriz. Aynı şekilde τ , örten olduğundan τ ( a '') = a ' olacakşekilde bir a '' ∈ A bulabiliriz. O halde, ∀a ∈ A içina = σ ( a ') = σ ( τ ( a '')) = ( στ )( a '')olacak şekilde bir a '' ∈ A elde etmiş olduk, böylece στ çarpımı örtendir vedolayısıyla στ çarpımı da A nın bir permütasyonudur. O haldepermütasyonların çarpımı işlemi γnüstünde kapalıdır.⎛1 2 3 4⎞Örnek 4.2. τ = ⎜ ⎟⎝3 4 2 1⎠ ve 1 2 3 4σ = ⎛ ⎜ ⎟⎞4 2 1 3A =iki permütasyonu olsun. Bu permütasyonların çarpımı⎝ ⎠ , { 1,2,3,4 }kümesinin125