SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

halde akla Jacobi sembolünün ne işe yaradığı sorusu gelebilir. Şimdi bunuaçıklayalım. P bir tek asal sayı ve a ∈ Z olsun. Tanımdan görüldüğü gibi , budurumdaDolayısıyla⎛ a ⎞⎜P⎟⎝ ⎠⎛ a ⎞⎜P⎟⎝ ⎠Jacobi sembolü ile,⎛ a ⎞⎜P⎟⎝ ⎠Legedre sembolü çakışır.Jacobi sembolünün değeri +1 ise x 2 ≡ a( mod P)⎛ a ⎞kongrüansının çözümü vardır. ⎜ = − 1P⎟⎝ ⎠≡ kongrüansınınise x 2 a( mod P)⎛ a ⎞çözümü yoktur. ⎜P⎟ Jacobi sembolünün değeri, (6.10) kullanılarak (a bir⎝ ⎠tek tamsayı ise a yı çarpanlarına ayırmadan) Legendre sembolüne göre dahax 2 ≡ a mod P kongrüansının çözümünün olupkolay hesaplanacağından ( )olmadığı daha kısa bir yolla belirlenmiş olacaktır.⎛ 105 ⎞Örnek 6.14. ⎜317⎟ Jacobi sembolünün değerini bulalım.⎝ ⎠Çözüm. Teorem 6.7. den2104 316 105 −1 104.106⎛ 105 ⎞ . ⎛ 317 ⎞ ⎛ 317 ⎞ ⎛ 2 ⎞( 1) 2 2( 1) 8( 1)8⎜ 1317⎟ = − ⎜ = = = − = − =105⎟ ⎜105⎟ ⎜105⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= 1x ≡ kongrüansının çözümü vardır.2bulunur. Şu halde 105( mod317)PROBLEMLER1) a = −1, − 2, 2, 3 ve p = 11, 13, 17 olmak üzerebulunuz.2) 11 in KR lerinin 1, 3, 4, 5 ve 9 olduğunu gösteriniz.⎛ a ⎞⎜ ⎟⎝ p ⎠nin değerlerini3) 7, 13, 17, 29 ve 37 sayılarının KR lerini ve KNR lerini bulunuz.4) 0 < a < 6 olmak üzere, 3 ün kuadratik rezidü olduğu p = 12n ± aformundaki bütün asal sayıları bulunuz.≡ − kongrüansının p = 6k+ 1 formundaki asal sayılar için25) x 3( mod p)çözümlü, p = 6k+ 5 formundaki asal sayılar için çözümsüz olduğunugösteriniz.83