SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Özellik: a, b ≥ 1 olmak üzere ( a, b)[ a, b] = a.b dir.Kanıt. a ve b nin kanonik gösterilişi (1.8) deki gibi olsun. k = 1,2,..., rolmak üzere ∀ k içinmin( αk , βk ) + max( αk , βk ) = αk + βkolduğunu göstermeliyiz.rk k k k( a, b)[ a, b] = ∏ p, a.b =k = 1min( α , β ) + max( α , β )kr∏k = 1k kp α + βkyazılabilir. k = 1,2,..., r için;α ≤ β ⇒ min( α , β ) + max( α , β ) = α + β ,dır. O halde,k k k k k k k kβ ≤ α ⇒ min( α , β ) + max( α , β ) = α + βk k k k k k k krrmin( k , k ) max( k , k )k k( , )[ , ] = ∏ α β + α β k= ∏α + βk= .k = 1 k = 1elde edilir.a b a b p p a bÖrnek 2. 1. (72,96,192,120) ve [72,96,192,120] değerlerini bulunuz.Çözüm.2 3 3 2 3 2 072 = 2.36 = 2 .18 = 2 .9 = 2 .3 = 2 .3 .52 3 4 5 1 5 1 096 = 2.48 = 2 .24 = 2 .12 = 2 .6 = 2 .3 = 2 .3 .52 3 4 5 6 1 0192 = 2.96 = 2 .48 = 2 .24 = 2 .12 = 2 .6 = 2 .3 .52 3 3 1 1120 = 2.60 = 2 .30 = 2 .15 = 2 3 .5olduğundan3 1 0(72,96,192,120) = 2 .3 .5 = 24buluruz.= =6 2 1[72,96,192,120] 2 .3 .5 2880Teorem 2.5. (Öklid) Asal sayıların sayısı sonsuzdur.Kanıt. Asal sayıların sayısının sonlu olduğunu varsayalım ve bunlarp1 , p2,..., pnolsun. K = p ... 11p2 p n+ doğal sayısını oluşturalım. K > 1olduğundan Teorem 2.2. ye göre K nın q gibi bir asal böleni vardır vei = 1,2,..., r olmak üzere her i için q ≠ pidir. Eğer q = piolsa: q | K ,q | p ... 1p2 pnolur, buradan da q | ( K − p ... 1p2 pn) yani q | 1 elde edilir ki, bumümkün değildir, böylece q ≠ pidir. p1 , p2,..., pnasal sayılarından başka birq asal sayısı daha bulunmuş olur ki, bu varsayımımıza aykırıdır. Şu halde asalsayıların sayısı sonlu olamaz.16