SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

6) P( A ) , A nın kuvvet kümesi ise ∀X , Y ∈ P( A)içinX + Y = ( X −Y ) ∪ ( Y − X )veX.Y = X ∪ Yişlemleri ile birlikte P( A ) nın bir halka yapısına sahip olup olmayacağınıaraştırınız.7) ( , )G + değişmeli grubu ve A { f f Hom( G)}= | ∈ kümesi verilsin. f ,g ∈ A ; ∀x ∈Giçin ( f + g)( x) = f ( x) + g( x)işlemi ve fonksiyonların bileşkeişlemi ile birlikte A nın bir halka yapısına sahip olduğunu kanıtlayınız.8) R reel sayılar kümesinin , ∀x,y ∈ R içinx ⊕ y = x + y − 1, x ⊙ y = x + y − xyşeklinde tanımlanan işlemlere göre bir cisim oluşturduğunu gösteriniz.9) ( H , + ,.) bir halka ve a Hbir alt halkası olduğunu gösteriniz.∈ olsun. T { x H ax 0}a= ∈ | = kümesinin, H nın10) ( S , + ) değişmeli bir grup ve 0, bu grubun birim elemanı olsun. ∀x,y ∈ Siçin x • y = 0 şeklinde tanımlanan “ • ” işlemi ile birlikte ( S , + ,•)nın birhalka olduğunu gösteriniz ve bu halkanın birimli ve değişmeli olup olmadığınıaraştırınız.11) ( H , + ,.) ve ( H ', ⊕, ⊙ ) iki halka ve f : H → H ' dönüşümü bir halkahomomorfizması olsun. Yani; ∀x,y ∈ H için,f ( x + y) = f ( x) ⊕ f ( y)ve f ( x. y) = f ( x) ⊙ f ( y)koşulları sağlansın. Bu taktirde,a) Eğer S, H nın bir alt halkası ise f ( S ) deb) Eğer S ' ,gösteriniz.H ' nün bir alt halkası iseH ' nin bir alt halkasıdır.−f1 ( S ') de H nın bir alt halkasıdır,12) 1, birimli bir ( H , + ,.) halkasının birimi ve e, bir ( H ', ⊕, ⊙ ) halkasınınsıfırı olsun. f : H → H ' dönüşümü bir halka homomorfizması olmak üzeref (1)≠ e ise bu taktirde f (1) , ( f ( H ), ⊕, ⊙ ) halkasının birimidir, kanıtlayınız.194