SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

lineer denklemleri G içinde bir tek çözüme sahiptirler.Kanıt. ( G, ∗ ) ikilisi bir grup olduğundan a elemanının G de bir a′ inversivardır ve G kapalı olduğundan yani “ ∗ ” işlemi G de bir iç işlem olduğundana ' ∗ b , G nin bir elemanıdır. a ' ∗ b = x diyelim ve x i denklemde yerineyazalım. Böylece grup özelliklerindena ∗ ( a ' ∗ b) = ( a ' ∗ a)∗ b= e∗b= bbuluruz, yani a ' ∗ b bir çözümdür, şimdi de bu çözümün tek olduğunukanıtlayalım. Eğer denklemin x ten başka bir x1çözümü varsa , yani;a ∗ x = b ve a ∗ x1= bisea ∗ x = a ∗ x 1den sol sadeleştirme kuralı ile x = x1elde ederiz, yani denklemin çözümü birtektir.Örnek 2.1. C −{ 0}kümesinin( a + bi)( c + di) = ( ac − bd ) + ( ad + bc)işeklinde tanımlanan “ ⋅ ” işlemine göre bir komütatif grup olduğunugösterelim.Çözüm. i) Her a + bi , c + di ∈C −{ 0}için( )( ) ( ) ( )dir. Öte yandana + bi c + di = ac − bd + ad + bc i ∈ C ∈R∈Ra + bi ≠ 0 ⇒ a ≠ 0 ∨ b ≠ 0(2.1)c + di ≠ 0 ⇒ c ≠ 0 ∨ d ≠ 0(2.2)olduğundan ( a + bi)( c + di) ≠ 0 dir. Çünkü aksi halde⎧ac− bd = 0⎨⎩ad+ bc = 0olur, yani c ve d, (2.2) ye göre⎧ax− by = 0⎨⎩bx+ ay = 0lineer homojen denklem sisteminin sfır çözümden farklı bir çözümünüoluşturur. Buradan daa − b = 2 2a + b = 0b a110