SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

1. BÖLÜM. BÖLÜNEBİLMEBİRİNCİ KISIMTanım 1.1. a ve b iki tamsayı ve a ≠ 0 olsun. b = a.c olacak şekilde bir ctamsayısı varsa a,b yi böler veya b,a ile bölünür deriz ve bu durumu a | bşeklinde ifade ederiz. b ye a nın bir katı, a ya b nin bir böleni, c ye de b nina yı tamamlayan böleni adı verilir. c sayısını bulma işlemine ise b yi a yabölme işlemi adını vereceğiz.Eğer b = a.c olacak şekilde hiçbir c tamsayısı yoksa b, a ile bölünemezveya a, b yi bölmez denir ve a |/ b yazılır. a | b ise b = a.c dir ve burada eğerc ≠ ± 1 ise o zaman a,b yi has olarak böler diyeceğiz. Örneğin, 6 = 2.3olduğundan 2, 6 nın bir has bölenidir.durumk negatif olmayan bir tamsayı olmak üzerekaÖrneğin,ka| b , fakatk + 1a|/ b ise bu|| b notasyonu ile belirtilir ( k, a nın b yi bölen en büyük kuvvetidir).25 | 50 ve35 / | 50 olduğundanBölünebilme İle İlgili Temel Özellikler1. i )25 || 50 dir.∀a∈ Z için a | 0 dır. Çünkü 0 = a.0ve 0 ∈ Z dir.ii ) 0 | a ⇔ a = 0 dır. Çünkü 0 | a ise a = 0. c olacak şekilde bir c ∈Z(gerçekte sonsuz çoklukta) vardır. Böylece a = 0. c koşulu ancak a = 0 olmasıhalinde gerçeklenir. Tersine i ) den ∀a∈ Z için a | 0 olduğundan a = 0 içinde ifade doğrudur, yani 0 | 0 , dolayısıyla 0 | a dır.Aşağıdaki özelliklerin tamamı bölünebilme tanımından kolayca eldeedilir:2. i )∀a∈ Z için ± 1| a ve ± a | a dır.ii)a | ± 1 ⇔ a = ± 1 dir.3. a | b ise ± a | ± b dir.4. a | b ve b | c ise a | c dir.5. a | b ve b | a ise b = ± a dır.6. i ) a | b ise ca | cb dir.ii ) c ≠ 07. a1 b1, ca | cb ise a | b dir.| , a2 | b2ise a1. a2 | b1 . b2dir.| ise a | ( b + c)dir.8. a | b ve a c1