SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

dönüşümünü tanımlayalım.ϕ(( a + b) + K) = φ( a + b) = φ( a) + φ( b) = ϕ( a + K) + ϕ( b + K)veϕ[( a + K)( b + K)] = ϕ( ab + K) = φ( ab) = φ( a) φ( b) = ϕ( a + K ) ϕ( b + K )olduğu görülür. Ayrıca,ϕ( a + K) = ϕ( b + K)iseφ( a) = φ( b)−1dir. Buradan her iki tarafı soldan ( φ( a))ile çarparak, H ' nün çarpımsalbirimi e ' olmak üzere−1 −1 −1e' = ( φ( a)) φ( b) = φ( a ) φ( b) = φ( a b),yani−1a b ∈ K ⇒ b ∈ a + K ⇒ a + K = b + Kelde ederiz ki, bu sonuç ϕ nin bire-bir olduğunu gösterir. ϕ nin örten olduğutanımından açıktır. Böylece, ϕ bir halka homomorfizmasıdır.Özellik 12.1. F bir cisim, H bir halka ve φ : F → H bir halkahomomorfizması olsun. Eğer φ dönüşümü bire-bir değilse bir sıfırhomomorfizmadır.Kanıt. ∀x ∈ F için φ ( x) = 0 ise φ bir sıfır homomorfizmadır. Eğer φdönüşümü bire-bir değilse ∃ a,b ∈ F , a ≠ b ∋ φ( a) = φ( b)dir. a + ( − b)= c ∈ Fdiyelim. φ bir homomorfizma olduğundanφ( c) = φ( a + ( − b)) = φ( a) + φ( − b) = φ( a) + ( − φ( b))dir. φ( a) = φ( b)olduğundan φ ( c) = 0 bulunur. Diğer taraftan a ≠ bolduğundan c ≠ 0 dır. Böylece,−1∀x∈ F için x = cc xdir ve buradan−1 −1 −1φ( x) = φ( cc x) = φ( c) φ( c x) = 0. φ( c x) = 0bulunur. Şu halde φ , bir sıfır homomorfizmadır.Teorem 12.6. H birimli ve değişmeli bir halka olsun. M nin H da birmaksimal ideal olması için gerek ve yeter koşul H M nin bir cisimolmasıdır.Kanıt. M, H nın bir maksimal ideali olsun. Bu durumda H M nin birimli vedeğişmeli bir halka olduğu açıktır. H M nin cisim olması için geriye H Mde toplamsal birim eleman olmayan herhangi bir elemanın inversinin var208