SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

2) f ( a. b) = f ( a). f ( b)koşullarını sağlıyorsa bu dönüşüme bir halka homomorfizması adı verilir.Teorem 12.3. Halka homomorfizmaları ideal yapılarını korur.Tanım 12.3. H bir halka ve N ≠ H , H nın bir ideali olsun. ∀a,b ∈ H içinab ∈ N ise a ∈ N veya b ∈ N dir, önermesi doğru ise o taktirde N ye H nınbir asal ideali adı verilir.Tanım 12.4. H bir halka ve N ≠ H , H nın bir ideali olsun. Eğer H nın N yikapsayan N den başka hiçbir has ideali yoksa N ye H nın maksimal ideali adıverilir.Teorem 12.4. H veH ' iki halka olsun. f : H → H ' dönüşümü bir halkahomomorfizması ve N, H nın bir ideali ise φ ( N)de φ ( H ) nın bir idealidir.Kanıt. n ∈ N ve h ∈ H olsun. φ( h) φ( n) = φ( hn) ∈ φ( N)dir. Ayrıca,φ( n) φ( h) = φ( nh) ∈ φ( N)olduğundan φ ( N), φ ( H ) nın bir idealidir.Sonuç 12.2. H vehomomorfizması veidealidir.H ' iki halka olsun. f : H → H ' dönüşümü bir halkaH ' nün sıfırı 0' iseN '1= φ − kümesi de H nın bir(0')Teorem 12.5. ( Halka İzomorfizmalarının Temel Teoremi ) H ve H ' iki halkaolsun. f : H → H ' dönüşümü bir halka homomorfizması ve φ nin çekirdeğiK ise φ ( H ) bir halkadır ve φ ( H ) dan H K ya bir doğal izomorfizma vardır.Kanıt. H bir halka ise φ ( H ) nın da bir halka olacağı açıktır.a , b , c ∈ H olsun. H bir halka olduğundan ( ab) c = a( bc)dir. Şu halde,( φ( a) φ( b)) φ( c) = φ( a)( φ( b) φ( c))olduğunu göstermeliyiz.( φ( a) φ( b)) φ( c) = ( φ( ab)) φ( c)= φ(( ab) c) = φ( a( bc)) = φ( a)( φ( bc))= φ( a)( φ( b) φ( c))dir. Diğer özellikleri de benzer biçimde kolayca kanıtlayabiliriz.Şimdi φ ( H ) dan H K ya bir doğal izomorfizmanın tanımlanabileceğinigösterelim. a + K ∈ H K olmak üzereϕ : H K → φ( H )ϕ( a + K) = φ( a)207