SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

6. BÖLÜM. DEVİRLİ GRUPLAR40,2 idi. Şimdi Z4ün 3 elemanını kapsayan engeniş alt grubunun nasıl olduğunu araştıralım. Bu alt grubu H ile gösterelim.13+ 3 = 2 ∈ H ve 3 − = 1∈ H ve 0∈ H olmalıdır. Bu durumda Z4ün 3elemanını kapsayan en geniş alt grubunun, H = Z4= { 0,1,2,3}şeklinde,kendisi olduğu sonucuna ulaşırız.Şimdi bu düşünceyi genelleştirelim, yani G bir grup ve a ∈ G olsun. Gnin a yı içeren en geniş H alt grubunu araştıracağız. H, G deki işleme göre22 3kapalı olduğundan a.a = a ∈ H olmalıdır. Benzer şekilde, a . a = a ∈ H ve+nbu şekilde devam ederek ∀n∈ Z için a ∈ H olması gerektiğini elde ederiz.−1 −1 −2Ayrıca, aynı düşünce ile a . a = a ∈ H ve bu düşünceyi sürdürerek+n∀n∈ Z için a− 1∈ H ve a.a − = e ∈ H olması gerektiği sonucuna ulaşırız.0nEğer, a = e dersek, ∀n∈Z için a ∈ H buluruz. Böylece, G nin a yı içerenen geniş H alt grubununZ ün tek öz alt grubu { }n{ }H = a | n ∈ Zşeklinde olacağını elde ederiz. Ancak, ∀n∈ Z için elde edeceğimizbirbirinden farklı olmayabilir, gerçekten V-Klein 4 grubu için;2a = a.a = esonuçları elde edilir.3a = e a = a4a = a a = e5a = e a = a...na lernTeorem 6.1. G bir grup ve a ∈ G olsun. H = { a | n ∈ Z } kümesi G nin bir altgrubudur, üstelik bu alt grup G nin a yı kapsayan en dar alt grubudur.r s r + sKanıt. ∀r,s ∈ Z için a . a = a ∈ H olduğundan G deki işlem H da dakapalıdır.0a = e ∈ H ver−olduğundan ( ) 1ra−ra a H= ∈ dır.∈ H ikenr −r0a . a = a = e ∈ HnTanım 6.1. G bir grup ve a ∈ G olsun. H = { a | n ∈ Z } alt grubuna G nin atarafından üretilen devirli alt grubu denir ve H =< a > şeklinde gösterilir,eğer G grubu için G =< a > ise G ye a tarafından üretilen bir devirli grupdenilir.140