SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Tanım 16.3. V, F cismi üzerinde birleşmeli bir cebir olsun. S ⊂ V olmaküzere V nin her x elemanı x , x ,..., x ∈ S ve λ , λ ,..., λ ∈ elemanlarınıni1 i2i k∑iλxi1 ,..., iki1,..., iki1 i2iFkşeklindeki bir lineer birleşimi olarak ifade edilebiliyor ise S ye V nin bir üreteçsistemi deriz, bu durumda S, V yi gerer.Tanım 16.4. V herhangi bir cebir ve W ⊂ V bir alt vektör uzayı olsun. EğerW, V de tanımlı olan çarpma işlemine göre kapalı ise W ye V nin bir alt cebridenir.Tanım 16.5. (Cebirsel ideal) V bir cebir ve I ⊂ V bir alt vektör uzayı olsun.∀x∈ V için α ∈ I olmak üzere xα ∈ I ise I ya V nin bir sağ ideali, α x ∈ Iise I ya V nin bir sol ideali adı verilir. Eğer V değişmeli ise bu durumda sağ vesol ideal kavramları anlamını yitirir ve bu durumda I ya sadece V nin birideali denir.Örnek 16.1. V birleşmeli bir cebir olmak üzere V nin bir x elemanını gözönüne alalım.N = α ∈ V | xα= 0x{ }kümesi V nin bir sağ idealidir. Çünküolduğundanαβ ∈ Nxdir.β ∈ V için ( xα ) β = x( αβ ) = 0V bir cebir, I ⊂ V alt vektör uzayı ve I aynı zamanda V nin bir ideali isebu durumda V I bölüm cebrini tanımlayabiliriz. Bunun için önceπ :V → V Işeklindeki doğal izdüşüm dönüşümünü tanımlarız ve aşağıdaki teoremikullanarak bölüm cebrini tanımlayabiliriz.Teorem 16.1. π :V → V I dönüşümü tanımlansın. V I da bir çarpmaişleminin tanımlanabilmesi için gerek ve yeter koşul I nın V de bir idealolmasıdır.Kanıt. V I da bir çarpma işleminin tanımlı olduğunu kabul edelim. x,y ∈ Volmak üzere π ( x)= x′, π ( y)= y′şeklinde gösterelim. π bir homomorfizmaolduğundanx ' y ' = π ( x) π ( y) = π ( xy)yazabiliriz. Şimdi x ∈ I olduğunu kabul edersek y ∈ V olmak üzere, π birhomomorfizma olduğundanπ ( xy) = π ( x) π ( y) = x ' y ' = 0251