SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

Her g ∈ N için ag = ga olduğundan bu eşitliğin heriki tarafını sağdan vesoldana1a −ile çarparak= bulunur ki, buradan g ∈ N − 1 , yani−1 −1ga a gNaa⊂ N − 1(9.1)−1 −1elde edilir. Benzer şekilde her g′∈ N − 1 için a g′ = g′a olduğundan bueşitliğin heriki tarafını sağdan ve soldan a ile çarparak g′ a = ag′bulunur ki,buradan g′∈ N yaniaaaaN − ⊂ N(9.2)1 abulunur. Şu halde (9.1) ve (9.2) den N = N − 1 elde edilir.aTeorem 9.13. G bir grup, H ve K da G nin iki normal alt grubu olsun.H ∩ K = e ve H ∨ K = G ise bu taktirde G, H × K çarpımına izomorftur.{ }Kanıt. Teorem 7.6. dan G grubunun, H ve K alt gruplarının iç kartezyençarpımı olarak yazılabilmesi için gerekli koşullardan birisi ∀h ∈ H , ∀k ∈ Kiçin hk = kh olmasıdır. Teoremin kanıtını yapmak için sadece bu koşulunsağlandığını göstermek yeterlidir, çünkü diğer koşullar teoremde verilen−1 −1varsayımlardan açıktır. Bunun için ∀h ∈ H , ∀k ∈ K için hkh kkomütatörünü göz önüne alalım. K, G nin bir normal alt grubu olduğundan−1 1kh k− −1 −1∈ K dır. Yukarıdaki komütatörü h( kh k ) şeklinde yazarsak H birnormal alt grup olduğundandır. Böylecebuluruz.kh ka−1 − 1∈ H elde ederiz. O halde−1 1hkh k − ∈ H ∩ K olur. Hipotezden,−1 −1( )h kh kise∈ H−1 1hkh k − = e hk = khTeorem 9.14. p bir asal sayı olmak üzere, mertebesi2p olan her grupdeğişmelidir.2Kanıt. G, mertebesi p olan bir grup olsun. Eğer G devirli değilse grubunbirim elemanı dışındaki bütün elemanlarının mertebesi p olur. a, mertebesi polan bir eleman olsun. Bu takdirde < a > devirli grubunun mertebesi de p dir.Dolayısıyla < a > grubu, G nin bütün elemanlarını içermez. b, G nin bu gruptaolmayan bir elemanı olsun. O zaman < a > ∩ < b >= { e}dir. Çünkü c ≠ eolmak üzere c ∈< a > ∩ < b > olsa: c ∈< a > ve c ∈< b > olacağından< a >=< b > elde edilir ki, bu kabulümüz ile çelişir. 1. Sylow Teoremine göre2< a > , G nin p mertebeli herhangi bir alt grubunun bir normal alt grubuolacağından < a > , G nin de bir normal alt grubu olur. Benzer şekilde < b >de G nin bir normal alt grubudur. < a > ∨ < b > , G nin < a > yı kapsayan ve2mertebesi p yi bölen bir alt grubudur. Böylece < a > ∨ < b >= G elde ederiz.183