SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

13. BÖLÜM. POLİNOMLAR VE POLİNOM HALKALARIKatsayıları bir H halkasından seçilmiş olan x e göre verilmiş polinomlarladaha önceki yıllarda karşılaşmış olmalıyız. Polinomun baş katsayısı adınıverdiğimiz x e göre en büyük dereceli terimin katsayısının sıfırdan farklıolması gerektiği varsayımını biliyoruz. Katsayıları bir H halkasından seçilmişolan x e göre bir polinomu, bir sonlu toplam olarakn∑i=0şeklinde gösterebiliriz. Eğer 0nia x = a + a x + ... + a xi0 1nna ≠ ise polinoma n. derecedendir diyeceğiz.Bu durumda ( n + 1 ).ve daha yüksek dereceli terimlerin katsayılarının sıfırolduğunu varsayacağız. Ancak, örneğin0 + a x + 0x + a x şeklinde bir2 31 33polinom ile onun a1 x + a3xşeklindeki bir gösterimi arasında bir kargaşayaşamamak için bir polinomu sonsuz toplam biçiminde göstermek dahauygundur. Buna göre, katsayıları bir H halkasından seçilen bir polinomu∞∑i=0ina x = a + a x + ... + a x + ...i0 1şeklinde göstereceğiz. Bu gösterim sadece katsayılarına0, a1, a2, ... , an, ...şeklindeki bir dizisi ile de yapılabilir. Bu gösterimde sonlu sayıdaki katsayılardışında diğer bütün katsayıların sıfır olacağı açıktır. O halde aşağıdaki tanımıverebiliriz.Tanım 13.1. H bir halka olsun. Katsayıları H halkasından seçilen bir f ( x )polinomu,sıfır olmak üzerea i∈ H ve sonlu sayıdai∞∑i=0şeklinde tanımlanır. Buradaki0 1na ler dışında kalan diğer bütünina x = a + a x + ... + a x + ...inailera i∈ H lara polinomun katsayıları veai≠ 0 olacak şekildeki en büyük i tamsayısına da f (x)polinomununderecesi adı verilir ve der f ( x ) şeklinde gösterilir. Eğer böyle bir i = ntamsayısı bulunamıyor ise polinomun derecesi sıfır olarak tanımlanır. f (x)polinomunda i > n için ailer sıfır oluyor ise polinomuşeklinde gösteririz.f ( x) = a + a x + ... + a x0 1nn211