SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

şeklindedir.⎛1 2 3 4⎞⎛1 2 3 4⎞ ⎛1 2 3 4⎞στ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎝ 4 2 1 3⎠⎝3 4 2 1⎠ ⎝1 3 2 4⎠Teorem 4.1. A boş olmayan bir küme ve γA, A nın permütasyonlarınınkümesi olsun. γAkümesi, permütasyonların çarpımı işlemine göre bir gruptur.Kanıt.1) Kapalılık özelliği : Örnek 4.1. de kanıtlanmıştır.2) Birleşme özelliği : ∀ σ , τ , µ ∈ γAve ∀a ∈ A için( στ ) µ = σ ( τµ )olduğunu gösterelim.(( στ ) µ )( a) = σ ( τ ( µ ( a))) = σ (( τµ )( a)) = ( σ ( τµ ))( a)olduğundan birleşme özelliği doğrulanır.3) Birim eleman : ∀a ∈ A için σ ( a)= a olacak şekilde bir 0σ0∈ A birimpermütasyonu bulabiliriz.4) İnvers eleman : ∀σ∈ γApermütasyonu içinolacak şekilde birσ ( a ') = a ise σ − 1 ( a) = a '1σ − invers permütasyon tanımlıyabiliriz. σ , bire-bir ve1örten olduğundan σ − de bire-bir ve örten olup, γAya aittir. Gerçekten∀a∈ A için,σ 1 10( a ) a σ ( a ') σ ( σ −( a )) ( σσ −= = = = )( a )veya ∀a' ∈ A için,σ 1 1 1( a ') a ' σ −( a ) σ −( σ ( a ')) ( σ −= = = = σ )( a ')olduğundan ∀σ∈ γ içinolacak şekilde bir0A= =−1 −1σ σ σσ σ 01σ − ∈ γ Avardır ve böylece ( γA,.)bir gruptur.A ve B kümeleri aynı sonlu sayıda elemana sahip iki küme ise, A ve B ninpermütasyonlarının γAve γ Bkümeleri arasında bir izomorfizma tanımlanabilirve bu izomorfizma bir grup izomorfizmi dir.Teorem 4.2. Sonlu n elemanlı bir A kümesinin permütasyonlarının sayısı,yani γAgrubunun mertebesi n ! dir.Kanıt. A nın permütasyonlarının sayısını P( n, n ) ile gösterelim. A nın bir tekelemana sahip bir B alt kümesinden B ye, bire-bir ve örten bir tek fonksiyon126