SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ

p−1kt k t ta = a = ( a) = 1 = 1bulunur. Böylece, hem toplama hem de çarpma işlemine göre bir a ∈ Zpelemanını a + pZ kalan sınıfının bir temsilci elemanı olarak düşünebiliriz. Busonuç bize,Zpile= 1Z pZ nin birbirine izomorf yapılabileceğini gösterir.Şimdi, bir tamlık bölgesinden hareketle bir cisim yapısı oluşturmakistiyoruz. Bu bize aynı zamanda bir tamlık bölgesinden rasyonel sayılarcisminin elde edilişini anlatacaktır. Bunun için bir D tamlık bölgesini gözönüne alalım.Q = ( a, b) | a, b ∈ D; b ≠ 0 ⊂ D × D{ }kümesi tanımlansın. ( a, b ) , ( c, d)∈ Q olmak üzere( a, b) ≈ ( c, d)⇔ ad = bcbağıntısını tanımlayalım. Bu bağıntı bir denklik bağıntısıdır. Çünkü,ab = ab ⇒ ( a, b) ≈ ( a, b)dir.( a, b) ≈ ( c, d)⇒ ad = bcdir. Buradan cb = da olduğu görülür, yani ( c, d) ≈ ( a, b)dir. Diğer taraftan,( a, b) ≈ ( c, d)ve ( c, d) ≈ ( e, f ) olsun. Bu durumda ad = bc , cf = deeşitlikleri vardır, bunları taraf tarafa çarparsak adcf= bcde elde ederiz. Qkümesinin tanımından b ≠ 0 , d ≠ 0 , f ≠ 0 olduğunu biliyoruz. Teorem 11.2.ye göre D bir tamlık bölgesi olduğundan sıfır-bölensizdir, böylece sol ve sağsadeleştirme kuralları geçerlidir. Bu nedenle adcf = bcde eşitliğindenaf = be buluruz, bu ise ( a, b) ≈ ( e, f ) olması demektir. Böylecetanımladığımız bağıntı bir denklik bağıntısıdır. Bu denklik bağıntısı Qkümesini, ( a, b)∈ Q elemanı için,{ }[ a, b] = ( x, y) ∈ Q | ( a, b) ≈ ( x, y)şeklindeki denklik sınıflarına ayırır. Bu şekilde tanımlayacağımız bütündenklik sınıflarının kümesini F ile gösterirsek,ve[ a, b] ⊕ [ c, d] = [ ad + bc, bd][ a, b] ⊗ [ c, d] = [ ac, bd]işlemleri ile birlikte F kümesi bir cisim teşkil eder, bu cisme D tamlıkbölgesinin bölüm cismi adını vereceğiz. Gerçekten ( F, ⊕, ⊗ ) , cisimkoşullarını gerçekler:201