Fundamentos

Fundamentos de Física Médica
Volumen 2. Bases físicas, equipos y control de calidad en radiodiagnóstico
sión de algunos aspectos de su funcionamiento y facilita la interpretación de
determinadas anomalías, artefactos y otros problemas que pueden aparecer
en el uso clínico de los equipos.
Los fundamentos matemáticos de la reconstrucción de imágenes pueden
buscarse en los trabajos de Johann Radon quién, en 1917 y en el contexto del
desarrollo de la teoría gravitacional, publicó una solución exacta para la reconstrucción
de una función a partir de sus proyecciones.
Rescribiendo de manera levemente modificada la ecuación (2) se puede tener:
pL
= ln^I0 / Ih=
# n^x,
yds h
(3)
#
L
donde n^xy
, hes la distribución de una determinada propiedad, el coeficiente
de atenuación lineal, en una superficie y p L
L
es la integral (proyección) a lo
largo de una línea, L.
Radon demostró que n(x,y) podía calcularse a partir del conjunto de las
proyecciones p L
, expresadas como p(r,θ), donde r y θ son las coordenadas polares
de cada línea L, mediante:
n^xy , h =-12 / r 2
# di#
drl6 1/ ^rl - rh@
2p^rl, ih/
2rl
(4)
La transformada de Radon y su solución son una forma matemáticamente
significativa de plantear el problema de la reconstrucción de imágenes en tomografía
computarizada o en otras técnicas semejantes. Ciertamente Cormack
no tenía noticia de esta solución y en sus primeros diseños, así como en los de
Hounsfield, se utilizaron otras aproximaciones para obtener una imagen. En
realidad, a lo largo de más de treinta años se han propuesto multitud de técnicas
para resolver la cuestión con el objetivo de optimizar los inevitables compromisos
entre complejidad computacional, resolución espacial, ruido, tiempo
de cálculo, viabilidad de los protocolos clínicos, aparición de artefactos, etc.
Aunque la solución sea posible desde el punto de vista matemático, e independientemente
de su complejidad, en el mundo real las cosas son algo más
complicadas de lo que se deduce del planteamiento básico apuntado. Se comentan
brevemente a continuación algunos problemas que complican inevitablemente
la situación.
En primer lugar, la integral de línea, medible en principio como l n
(I 0
/I), a
partir de las lecturas de los detectores, se basa en la idea de que el coeficiente
de atenuación lineal n(x,y) es un valor fijo, bien determinado que caracteriza
un determinado punto (o un voxel) de la sección considerada. En realidad,
n(x,y) es función de la energía de la radiación que atraviesa el cuerpo. No sería
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