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98 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Wir haben damit aber ΦP,ς verwendet, um zu zeigen, daß DP,ς =
n∈IN(Φ ∗ P,ς )n (⊥ς) der kleinste
Fixpunkt von Φ ∗ P,ς ist. Außerdem haben wir in Kapitel 3 die Ordnung 〈TC,ς, ✂〉 als Ordnung
bezüglich des Informationsgehalts gedeutet und auf diese Weise eine intuitive Begründung für die
Beschränkung auf ω-stetige Operationen gegeben. In Abschnitt 6.2 werden wir zwar eine Eigenschaft
betrachten, die Φ ∗ P,ς im Gegensatz zu ΦP,ς besitzt, die jedoch von keiner nützlichen Bedeutung
ist.
Da sich ΦP,ς insgesamt als einfacher und intuitiv einleuchtender als Φ ∗ P,ς
als ς-Transformation gewählt.
5.3 Die ς-Reduktionssemantiken
5.3.1 Definition der ς-Reduktionssemantiken
herausstellt, haben wir es
Nach der Definition der ς-Fixpunktsemantik suchen wir nun nach einer passenden ς-Reduktionssemantik.
Im Falle der cbv- und der cbn-Semantik war dies einfach, da wir auf allgemein bekannte
Reduktionsstrategien zurückgreifen konnten. Auch ist die Verwendung einer innermost Reduktionsstrategie
für den cbv-Auswertungsmechanismus und einer outermost Reduktionsstrategie für den
cbn-Auswertungsmechanismus naheliegend. Beliebige erzwungene Striktheiten ς führen nun zu einer
Vermischung der beiden Auswertungsmechanismen. Die Suche nach einer ” middlemost“ Reduktionsstrategie
dürfte aber kaum aussichtsreich sein. Außerdem sind die unterschiedlichen Striktheiten
der Konstruktoroperationen verwirrend, da zu den Konstruktorsymbolen doch überhaupt gar
keine Reduktionsregeln existieren.
Wir wollen daher erst einmal Abstand von dem Problem nehmen, und nicht direkt eine Reduktionsstategie
definieren. Stattdessen untersuchen wir, welche Art von Reduktionen in der ς-
u
Fixpunktsemantik korrekt ist. Eine Reduktion t −−→ t
l→r ′ heißt genau dann korrekt in der ς-
Fixpunktsemantik, wenn [[t]] fix
P,ς = [[t′ ]] fix
P,ς gilt.
Beispielsweise ist in der cbv-Fixpunktsemantik die Reduktion an einer innermost Redexstelle immer
korrekt.
Beispiel 5.4 Reduktion an einer innermost Redexstelle und die cbv-Semantik
Betrachten wir die Reduktion
condSucc(Succ(inf),Zero,inf)
Wegen [[inf]] fix
P,cbv = ⊥ gilt auch
inf → Succ(inf)
3
−−→ condSucc(Succ(inf),Zero,Succ(inf))
[[condSucc(Succ(inf),Zero,inf)]] fix
P,cbv = ⊥ = [[condSucc(Succ(inf),Zero,Succ(inf))]] fix
P,cbv.
3 und und die li-Redexstelle 1.1 sind die einzigen innermost Redexstellen des Ausgangsterms. ✷
Andererseits sind in der cbv-Semantik offensichtlich nicht alle Reduktionen korrekt.