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98 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN<br />
Wir haben damit aber ΦP,ς verwendet, um zu zeigen, daß DP,ς = <br />
n∈IN(Φ ∗ P,ς )n (⊥ς) der kleinste<br />
Fixpunkt von Φ ∗ P,ς ist. Außerdem haben wir in Kapitel 3 die Ordnung 〈TC,ς, ✂〉 als Ordnung<br />
bezüglich des Informationsgehalts gedeutet und auf diese Weise eine intuitive Begründung für die<br />
Beschränkung auf ω-stetige Operationen gegeben. In Abschnitt 6.2 werden wir zwar eine Eigenschaft<br />
betrachten, die Φ ∗ P,ς im Gegensatz zu ΦP,ς besitzt, die jedoch von keiner nützlichen Bedeutung<br />
ist.<br />
Da sich ΦP,ς insgesamt als einfacher und intuitiv einleuchtender als Φ ∗ P,ς<br />
als ς-Transformation gewählt.<br />
5.3 Die ς-Reduktionssemantiken<br />
5.3.1 Definition der ς-Reduktionssemantiken<br />
herausstellt, haben wir es<br />
Nach der Definition der ς-Fixpunktsemantik suchen wir nun nach einer passenden ς-Reduktionssemantik.<br />
Im Falle der cbv- und der cbn-Semantik war dies einfach, da wir auf allgemein bekannte<br />
Reduktionsstrategien zurückgreifen konnten. Auch ist die Verwendung einer innermost Reduktionsstrategie<br />
für den cbv-Auswertungsmechanismus und einer outermost Reduktionsstrategie für den<br />
cbn-Auswertungsmechanismus naheliegend. Beliebige erzwungene Striktheiten ς führen nun zu einer<br />
Vermischung der beiden Auswertungsmechanismen. Die Suche nach einer ” middlemost“ Reduktionsstrategie<br />
dürfte aber kaum aussichtsreich sein. Außerdem sind die unterschiedlichen Striktheiten<br />
der Konstruktoroperationen verwirrend, da zu den Konstruktorsymbolen doch überhaupt gar<br />
keine Reduktionsregeln existieren.<br />
Wir wollen daher erst einmal Abstand von dem Problem nehmen, und nicht direkt eine Reduktionsstategie<br />
definieren. Stattdessen untersuchen wir, welche Art von Reduktionen in der ς-<br />
u<br />
Fixpunktsemantik korrekt ist. Eine Reduktion t −−→ t<br />
l→r ′ heißt genau dann korrekt in der ς-<br />
Fixpunktsemantik, wenn [[t]] fix<br />
P,ς = [[t′ ]] fix<br />
P,ς gilt.<br />
Beispielsweise ist in der cbv-Fixpunktsemantik die Reduktion an einer innermost Redexstelle immer<br />
korrekt.<br />
Beispiel 5.4 Reduktion an einer innermost Redexstelle und die cbv-Semantik<br />
Betrachten wir die Reduktion<br />
condSucc(Succ(inf),Zero,inf)<br />
Wegen [[inf]] fix<br />
P,cbv = ⊥ gilt auch<br />
inf → Succ(inf)<br />
3<br />
−−→ condSucc(Succ(inf),Zero,Succ(inf))<br />
[[condSucc(Succ(inf),Zero,inf)]] fix<br />
P,cbv = ⊥ = [[condSucc(Succ(inf),Zero,Succ(inf))]] fix<br />
P,cbv.<br />
3 und und die li-Redexstelle 1.1 sind die einzigen innermost Redexstellen des Ausgangsterms. ✷<br />
Andererseits sind in der cbv-Semantik offensichtlich nicht alle Reduktionen korrekt.