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98 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN<br />

Wir haben damit aber ΦP,ς verwendet, um zu zeigen, daß DP,ς = <br />

n∈IN(Φ ∗ P,ς )n (⊥ς) der kleinste<br />

Fixpunkt von Φ ∗ P,ς ist. Außerdem haben wir in Kapitel 3 die Ordnung 〈TC,ς, ✂〉 als Ordnung<br />

bezüglich des Informationsgehalts gedeutet und auf diese Weise eine intuitive Begründung für die<br />

Beschränkung auf ω-stetige Operationen gegeben. In Abschnitt 6.2 werden wir zwar eine Eigenschaft<br />

betrachten, die Φ ∗ P,ς im Gegensatz zu ΦP,ς besitzt, die jedoch von keiner nützlichen Bedeutung<br />

ist.<br />

Da sich ΦP,ς insgesamt als einfacher und intuitiv einleuchtender als Φ ∗ P,ς<br />

als ς-Transformation gewählt.<br />

5.3 Die ς-Reduktionssemantiken<br />

5.3.1 Definition der ς-Reduktionssemantiken<br />

herausstellt, haben wir es<br />

Nach der Definition der ς-Fixpunktsemantik suchen wir nun nach einer passenden ς-Reduktionssemantik.<br />

Im Falle der cbv- und der cbn-Semantik war dies einfach, da wir auf allgemein bekannte<br />

Reduktionsstrategien zurückgreifen konnten. Auch ist die Verwendung einer innermost Reduktionsstrategie<br />

für den cbv-Auswertungsmechanismus und einer outermost Reduktionsstrategie für den<br />

cbn-Auswertungsmechanismus naheliegend. Beliebige erzwungene Striktheiten ς führen nun zu einer<br />

Vermischung der beiden Auswertungsmechanismen. Die Suche nach einer ” middlemost“ Reduktionsstrategie<br />

dürfte aber kaum aussichtsreich sein. Außerdem sind die unterschiedlichen Striktheiten<br />

der Konstruktoroperationen verwirrend, da zu den Konstruktorsymbolen doch überhaupt gar<br />

keine Reduktionsregeln existieren.<br />

Wir wollen daher erst einmal Abstand von dem Problem nehmen, und nicht direkt eine Reduktionsstategie<br />

definieren. Stattdessen untersuchen wir, welche Art von Reduktionen in der ς-<br />

u<br />

Fixpunktsemantik korrekt ist. Eine Reduktion t −−→ t<br />

l→r ′ heißt genau dann korrekt in der ς-<br />

Fixpunktsemantik, wenn [[t]] fix<br />

P,ς = [[t′ ]] fix<br />

P,ς gilt.<br />

Beispielsweise ist in der cbv-Fixpunktsemantik die Reduktion an einer innermost Redexstelle immer<br />

korrekt.<br />

Beispiel 5.4 Reduktion an einer innermost Redexstelle und die cbv-Semantik<br />

Betrachten wir die Reduktion<br />

condSucc(Succ(inf),Zero,inf)<br />

Wegen [[inf]] fix<br />

P,cbv = ⊥ gilt auch<br />

inf → Succ(inf)<br />

3<br />

−−→ condSucc(Succ(inf),Zero,Succ(inf))<br />

[[condSucc(Succ(inf),Zero,inf)]] fix<br />

P,cbv = ⊥ = [[condSucc(Succ(inf),Zero,Succ(inf))]] fix<br />

P,cbv.<br />

3 und und die li-Redexstelle 1.1 sind die einzigen innermost Redexstellen des Ausgangsterms. ✷<br />

Andererseits sind in der cbv-Semantik offensichtlich nicht alle Reduktionen korrekt.

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