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2.2. HALBORDNUNGEN 11
• obere Schranke von T, wenn T ≤ a;
• kleinstes Element von T, geschrieben Min(T), wenn a ∈ T und a ≤ T;
• kleinste obere Schranke von T, geschrieben T, wenn es kleinstes Element der Menge
{b ∈ A | T ≤ b} aller oberen Schranken von T ist.
Sind=〈A, ≤〉,=〈B, ≤〉 Halbordnungen, so heißt die Abbildung ϕ : A → B genau dann
monoton, wenn
a ≤a ′ =⇒ ϕ(a) ≤ϕ(a ′ )
für alle a, a ′ ∈ A.
Ist=〈A, ≤〉 eine Halbordnung, dann heißt eine Teilmenge T ⊆ A genau dann gerichtet, wenn
∀a, b ∈ T. ∃c ∈ T. a ≤ c ∧ b ≤ c
Ein Spezialfall der gerichteten Teilmengen sind die total geordneten Ketten K ⊆ A mit:
∀a, b ∈ K. a ≤ b ∨ b ≤ a
Nicht-leere Ketten K mit abzählbar vielen Elementen werden ω-Ketten genannt und lassen sich
auch als Folge schreiben:
K = (ai)i∈IN mit a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ . . .
Monotone Abbildungen erhalten die Gerichtetheit bzw. die Ketteneigenschaft, d. h. ist T gerichtet
(Kette) und ϕ monoton, so ist ϕ(T) gerichtet (Kette).
Eine Halbordnung=〈A, ≤〉 heißt genau dann ω-vollständig , wenn jede abzählbare gerichtete
Menge T ⊆ A in A eine kleinste obere Schranke hat, d.h. T existiert und T ∈ A. Schon
äquivalent dazu ist die Eigenschaft, daß jede abzählbare Kette K ⊆ A eine kleinste obere Schranke
in A besitzt. Diese Äquivalenz wird in [Mar76] bewiesen und beruht auf folgender Idee: Jede Kette
ist eine gerichtete Menge, und umgekehrt läßt sich zu jeder abzählbaren gerichteten Menge T =
{a0, a1, a2, . . .} eine abzählbare Kette K = {a0, {a0, a1}, { {a0, a1}, a2}, . . . mit T = K
konstruiert.
Da insbesondere T = ∅ bzw. K = ∅ sein kann 1 , besitzt jede ω-vollständige Halbordnungein
kleinstes Element ⊥:= ∅ ∈ A. Wennsich aus dem Zusammenhang ergibt, wird oft auch
nur ⊥ geschrieben.
Flache Halbordnungen sind immer ω-vollständig.
Ist M eine Menge, so ist 〈P(M), ⊆〉 eine ω-vollständige Halbordnung mit T als kleinster oberer
Schranke einer beliebigen(!) Teilmenge T ∈ P(M).
Ist=〈A, ≤〉 eine ω-vollständige Halbordnung und B eine Menge, so ist die kanonische Halbordnung
des Abbildungsraumes, 〈(B→A), 〉, ω-vollständig, wobei für beliebige abzählbare gerichtete
Mengen T ⊆ (B→A) die kleinste obere Schranke T durch
( T)(b) := {ϕ(b) | ϕ ∈ T }
1 In der Literatur werden gerichtete Mengen und Ketten oft als nicht-leer definiert. In diesem Fall wird für die
ω-Vollständigkeit zusätzlich die Existenz eines kleinsten Elementes gefordert.