Download (1405Kb)

92 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
der Teilterme t1, . . .,tn ω-stetig und somit auch monoton bezüglich der Variablenbelegung,
d. h. es gilt:
[[t1]] alg alg
1,β ≤ [[t1]] ′ ,β , . . .,[[tn]] alg alg
n,β ≤ [[t1]] ′ ,β
Auch folgt aus≤′ , daß f f′
, und somit gilt insgesamt:
Es ist e2 ∈ T2.
e1 ≤ f([[t1]] alg
′ ,β , . . .,[[tn]] alg
′ ,β ) ≤ f′
([[t1]] alg
′ ,β , . . .,[[tn]] alg
′ ,β ) =: e2
Somit ist T1 kofinal in T2. Außerdem ist T2 kofinal in T1, da T2 ⊆ T1. Nach Lemma 2.1, S. 12,
über Kofinalität und kleinste obere Schranken existiert also T2 und es ist
T2 = T1 = [[f(t1, . . .,tn)]] alg
⊔K,β
Fast analog verläuft der Beweis für das folgende Lemma.
Lemma 5.17 ω-Stetigkeit der algebraischen Termsemantik bezüglich der
Variablenbelegung
Sei Σ eine Signatur und 〈A, ≤〉 eine ω-vollständige Halbordnung. Seien Y ⊆ X, t ∈ TΣ(Y ) und
∈Alg ∞ Σ,⊥(〈A, ≤〉).
Dann ist die algebraische Termsemantik [[t]] alg
: (Y →A)→A eine ω-stetige Abbildung bezüglich der ,·
Variablenbelegung aus Y →A.
Beweis:
Sei K ⊆ (Y →A) eine ω-Kette der kanonischen Halbordnung 〈(Y →A), 〉. Wir zeigen durch strukturelle
Induktion über t ∈ TΣ(Y ), daß
existiert, und
ist.
t = x: (x ∈ Y ).
Es ist
e := {[[t]] alg
| β ∈ K} ,β
e = [[t]] alg
,⊔K
T := {[[x]] alg
| β ∈ K} = {β(x) | β ∈ K} ,β
Da K eine ω-Kette ist, ist auch T ⊆ A eine ω-Kette. Somit besitzt T eine kleinste obere
Schranke, und aufgrund der ω-Vollständigkeit von 〈(Y →A), ≤〉 gilt:
t = f(t1, . . .,tn): (f (n) ∈ Σ).
Es gilt:
T = ( {β | β ∈ K})(x) = [[x]] alg
,⊔K
✷