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2.5. TERMERSETZUNGSSYSTEME 27
Obwohl in der Definition die bei der Reduktion verwendete Regel l→r explizit genannt wird, sind
die Residuen nur von t und u abhängig. Um dies zu beweisen, brauchen wir allerdings erst die
folgende Eigenschaft von Residuen:
Lemma 2.4 Redexe eines Terms und deren Stellen
Sei t ∈ TΣ und u, v ∈ RedOccR(t) mit u < v. Sei l ∈ RedSR mit t/u = lσ für eine Substitution σ.
Dann existiert genau ein w ∈ IN ∗ + mit u ≤ u.w ≤ v und l/w ∈ X.
Beweis:
Da u < v, ist v = u.u ′ mit ε = u ′ ∈ IN ∗ +.
Angenommen, für alle w ∈ IN ∗ + mit w ≤ u ′ ist l/w /∈ X. Dann ist insbesondere
u ′ ∈ OccR(l) \ OccR(X, l) (1)
Da v ∈ RedOcc(t), ist t/v ein Redex, d. h. es existiert ˆ l ∈ RedSR und eine Substitution ˆσ mit
Somit folgt
t/v = ˆ lˆσ (2)
ˆ lˆσ (2)
= t/v = (t/u)/u ′ = lσ/u ′ (1)
= (l/u ′ )σ
Da u ′ = ε, steht dies im Widerspruch zur Eindeutigkeitsbedingung beinahe orthogonaler Termersetzungssysteme.
Also existiert ein w ∈ IN ∗ + mit u ≤ u.w ≤ v und l/w ∈ X, und trivialerweise ist dieses eindeutig
bestimmt. ✷
Lemma 2.5 Unabhängigkeit der Residuen von der Regel der Reduktion
u
Seien A = t −−→ t
l→r ′ u
und  = t −−→ t
ˆl→ˆr ′ Reduktionen und v ∈ RedOccR,I(t). Dann ist
v \ A = v \ Â
Beweis:
Für v = u, v u und v < u ist die Aussage trivial.
Sei v > u. Es ist zu zeigen, daß
v \ A = {u.w ′ .v ′ | v = u.w.v ′ , l/w = r/w ′ ∈ X} = {u. ˆw ′ .ˆv ′ | v = u. ˆw.ˆv ′ , ˆ l/ ˆw = ˆr/ ˆw ′ ∈ X} = v \ Â
Aus v > u folgt v = u.u ′ für ein u ′ ∈ IN ∗ +. Gemäß Lemma 2.4 über Redexe eines Terms und deren
Stellen läßt sich u ′ eindeutig zerlegen in
und in
O. B. d. A. sei w ≤ ˆw, d.h.
u ′ = w.v ′ mit l/w = x ∈ X
u ′ = ˆw.ˆv ′ mit ˆ l/ ˆw = ˆx ∈ X
ˆw = w.u ′′ und v ′ = u ′′ .ˆv ′
u
Da die Reduktion t −−→ t ′ sowohl aufgrund von l→r als auch ˆl→ˆr möglich ist, existieren Substitutionen
σ, ˆσ mit
lσ = t/u = ˆlˆσ (2)
(1)