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158 KAPITEL 7. SEQUENTIALITÄT
Definition 7.1 Sequentielle Abbildung
Sei ϕ : (TC,ς) n →TC,ς mit n ∈ IN eine monotone Abbildung. ϕ heißt genau dann sequentiell, wenn
∀t ∈ (TC,ς) n . (Occ(⊥,t) = ∅ ∨
∀u ′ ∈ Occ(⊥, ϕ(t)). ∃u ∈ Occ(⊥,t).
∀ t ′ ☎t. (ϕ( t ′ )/u ′ = ⊥ =⇒ t ′ /u = ⊥)
).
Hierbei heißt u Sequentialitätsindex von ϕ für t bezüglich u ′ . Ist für ein t ∈ (TC,ς) n die in den
äußeren Klammern stehende Teilformel erfüllt, so heißt ϕ sequentiell für t. ✷
Diese Definition ist eine Adaption der in [Ber&Cur82] für sogenannte concrete domains angegebenen
Definition 3.4.1., die dort jedoch nicht weiter verwendet wird. Sie geht auf [Kahn&Plot78] zurück.
Lax formuliert ist eine Abbildung ϕ für ein Argumenttupel t genau dann sequentiell, wenn zu
jedem ⊥ des Ergebnisses ϕ(t) ein ⊥ im Argumenttupel existiert, welches erst verschwinden muß,
bevor dieses ⊥ im Ergebnis verschwinden kann. Es wird also an einer ganz bestimmten Stelle in
den Argumenten zusätzliche Information benötigt, damit das Ergebnis an einer gegebenen Stelle
zusätzliche Information liefern kann.
Wir veranschaulichen dies mit Hilfe mehrerer Beispiele:
Beispiel 7.5 Striktes And (vgl. Bsp. 3.2, S. 39)
and(True,x) → x
and(y,True) → y
and(False,False) → False
1. t := (⊥, ⊥), and DP,cbn(t) = ⊥, Occ(⊥,and DP,cbn(t)) = {ε}.
and DP,cbn ⊥ False True
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
False ⊥ False False
True ⊥ False True
Sowohl u := 1 als auch u := 2 sind Sequentialitätsindexe von and DP,cbn für (⊥, ⊥) bezüglich
u ′ := ε, denn für alle t ′ ☎ t folgt aus and DP,cbn(t)/ε = and DP,cbn(t) = ⊥, daß auch t ′ /u =
t 1/2 = ⊥ sein muß.
Also ist and DP,cbn sequentiell für t.
2. t := (True, ⊥), and DP,cbn(t) = ⊥, Occ(⊥,and DP,cbn(t)) = {ε}.
u := 2 ist der Sequentialitätsindex von and DP,cbn für (True, ⊥) bezüglich u ′ := ε, denn für alle
t ′ ☎t folgt aus and DP,cbn(t)/ε = and DP,cbn(t) = ⊥, daß auch t ′ /u = t 2 = ⊥ sein muß.
Also ist and DP,cbn sequentiell für t.
3. t := (⊥,True). Die Sequentialität von and DP,cbn für t folgt analog zu 2.
Für alle anderen t ∈ (T ∞ C,⊥ )2 ist Occ(⊥,t) = ∅.
Somit ist das strikte And and DP,cbn sequentiell. ✷