Download (1405Kb)

2.4. TERME 17
2.4 Terme
Terme (erster Ordnung) bilden die Grundlage für Termersetzungssysteme und funktionale Programmiersprachen
(erster Ordnung). Daher werden sie und die zugehörigen Standardoperationen
in fast allen entsprechenden Literaturwerken definiert (z.B. [Der&Jou90], [Huet&Lévy79], [We92]).
Wir haben uns hier an der Notation von [Hof&Kut89] orientiert.
Unendliche Terme, auch Bäume genannt, werden in [Gue81] und [We92] für die Semantik von Programmen
und Programmiersprachen eingesetzt. Eine ausführliche Darstellung ihrer Eigenschaften
ist [Cou83].
2.4.1 Terme
Eine Variablenmenge ist eine abzählbare Menge, die disjunkt zu allen verwendeten Signaturen
ist. Im folgenden sei Σ eine Signatur mit mindestens einer Konstanten und X eine Variablenmenge.
Die Menge der (Σ-)Terme über X, TΣ(X), ist induktiv definiert als die kleinste Menge mit
• X ∈ TΣ(X) und
• f (n) ∈ Σ, t1, . . .,tn ∈ TΣ(X) =⇒ f(t1, . . .,tn) ∈ TΣ(X).
Bei Konstanten a ∈ Σ0 schreiben wir anstelle von a() meistens a. t ∈ TΣ(X) heißt Σ-Term
über X oder auch schlicht Term. Ein variablenfreier Terme t ∈ TΣ(∅) heißt (Σ-)Grundterm.
TΣ := TΣ(∅) ist die Menge der (Σ-)Grundterme.
Die Σ-Termalgebra TΣ(X) := 〈TΣ(X), τ〉 ist gegeben durch die Zuordnung τ:
τ(f)(t1, . . . , tn) = f(t1, . . .,tn)
(f (n) ∈ Σ, t1, . . . , tn ∈ TΣ(X)). TΣ := TΣ(∅) heißt Σ-Grundtermalgebra.
TΣ(X) ist absolut frei relativ zu X und TΣ ist absolut initial. Wir unterscheiden nicht zwischen
isomorphen Σ-Algebren und fassen daher im weiteren TΣ(X) als die relativ zu X absolut freie und
TΣ als die absolut initiale Σ-Algebra auf. Auch wenn wir meistens die oben definierte Präfixnotation
mit Klammern für Terme verwenden, sind wir nicht an diese gebunden. Wir können beispielsweise
auch graphische Darstellungen, die Infixnotation oder die im weiteren definierte Darstellung als
Abbildungen von Stellen verwenden. Wir besitzen somit eine abstrakte Syntax von Termen, die
allein auf algebraischen Eigenschaften beruht (vgl. mit der Einführung von [ADJ77]).
Die endliche Menge der in einem Term t ∈ TΣ(X) vorkommenden Variablen, Var(t), ist
induktiv definiert durch
• Var(x) := {x}, x ∈ X,
• Var(f(t1, . . .,tn)) := Var(t1) ∪ . . . ∪ Var(tn).
Für Grundterme t ∈ TΣ ist somit Var(t) = ∅, und es gilt natürlich für alle Terme t ∈ TΣ(Var(t)).
Gegeben seien noch die endliche Variablenmenge Y = {y1, . . .,yn} und die Variablenmenge Z. Eine
Abbildung σ : Y →TΣ(Z) heißt Substitution. Eine Substitution σ mit σ(yi) = ti für alle i ∈ [n]
wird dargestellt durch
σ = [t1/y1, . . . , tn/yn].