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Kapitel 8
Nicht-freie Datentypen
Wir haben in den bisherigen Kapiteln die Syntax und insbesondere die Semantik einfacher konstruktorbasierter
funktionaler Programmiersprachen definiert und untersucht. Mit diesen Programmiersprachen
sind jedoch nur freie (konstruktorbasierte) Datentypen spezifizierbar, bzw. unsere
ς-Datentypen sind nur Erweiterungen freier (konstruktorbasierter) Basisdatentypen. Freiheit
bedeutet hierbei, daß jeder syntaktische Konstruktorgrundterm ein eindeutiger Bezeichner eines
semantischen Datenelements ist 1 , formal:
∀t, t ′ ∈ TC. t = t ′ =⇒ [[t]] P,ς = [[t ′ ]] P,ς.
Wie wir in Beispielen gesehen haben, sind damit durchaus viele wichtige Datentypen leicht und auf
natürliche Weise spezifizierbar.
Beispiel 8.1 Freie Datentypen
Wahrheitswerte (Boolean): C = {False (0) ,True (0) }
Zeichen (Character): C = { ′ A ′(0) , ′ B ′(0) , ′ C ′(0) , . . .}
Natürliche Zahlen: C = {Zero (0) ,Succ (1) }
Listen: C = {Nil (0) ,Cons (2) }
Bäume: C = {Null (0) ,Node (3) }
Für andere Datentypen wie ganze Zahlen, rationale Zahlen, Fließkommazahlen, geordnete Listen
und Mengen ist dies dagegen nicht möglich.
Natürlich lassen sich diese Datentypen durchaus durch Konstruktoren aufbauen. So sind zum Beispiel
die ganzen Zahlen durch C = {Zero (0) ,Succ (1) ,Pred (1) } erzeugbar. Pred(t) bezeichnet den
Vorgänger der durch t bezeichneten Zahl, und wir erhalten
. . . , Pred(Zero) ≃ −1, Zero ≃ 0, Succ(Zero) ≃ 1, Succ(Succ(Zero)) ≃ 2, . . .
Aber TC enthält auch Succ(Pred(Zero)),Pred(Succ(Zero)),Succ(Succ(Pred(Pred(Zero)))), . . ..
Offensichtlich sollten all dieses letzteren Terme ebenfalls die Zahl 0 bezeichnen. In den ς-Datentypen
1
Im algebraischen Sinne sind die Basisdatentypen, die aus dem Träger der ς-Datentypen, TC,ς, und den Konstruktoroperationen
bestehen (wir ignorieren die Hilfsoperationen), natürlich nicht absolut frei relativ zu {⊥}. Immerhin
ist jedoch die Konstruktorgrundtermalgebra TC absolut initial, und T ∞
C,⊥ ist initial in Alg ∞
C,⊥.
✷