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64 KAPITEL 4. DIE STANDARDSEMANTIKEN
Schritt 3: D li P
ist der kleinste Fixpunkt der cbv-Transformation.
Angenommen, es gibt einen Fixpunkt=IntΣ,cbv der Transformation ΦP,cbv mit D li P .
Demnach existiert ein f (n) ∈ F( ˙∪ H), t 1, . . .,t n ∈ T ⊥ C mit
f(t 1, . . .,t n) ✁ f Dli
P (t 1, . . .,t n)
Somit ist f(t 1, . . .,t n) = ⊥ und f Dli
P (t 1, . . .,t n) = ⊥.
[[t]] alg =
Es existiert also ein Term t ∈ TΣ mit
Aus [[t]] alg
D li
P
⊥ und [[t]] alg
D li
P
= ⊥. (∗)
= ⊥ folgt die Existenz einer terminierenden li-Reduktionsfolge t
∗
−−→
P,li minimaler Term mit obiger Eigenschaft (∗) (dabei ist t ′
∗
−−→ t↓
P,li P,li ∈ TC.
Sei t ein bezüglich
” kleiner-
∗
gleich“ t gdw. t −−→ t ′ ; minimal“ ist wohldefiniert, da für alle Terme mit obiger Eigenschaft
”
P,li
(∗) die li-Reduktion terminiert).
Die Existenz der li-Reduktionsfolge impliziert die Existenz der li-Reduktion
t
u
−−→ t
P,li
′ ,
d. h. es gibt eine Reduktionsregel l→r ∈ ˆ P und eine Grundsubstitution σ mit
und außerdem ist selbstverständlich
[[lσ]] alg =
t = t[u ← lσ] (1)
t ′ = t[u ← rσ] (2)
[[t]] alg
D li
P
= [[t ′ ]] alg
Dli P
. (3)
Daein Fixpunkt der Transformation ΦP,cbv und lσ = f(t1, . . .,tn) mit f (n) ∈ F( ˙∪ H) und
t1, . . . , tn ∈ TΣ ist, gilt
f([[t1]] alg
, . . .,[[tn]] alg
) = [[rσ]] alg
.
[[t[u ← lσ]]] alg =
Mit der Invarianz der algebraischen Termsemantik folgt hieraus
[[t[u ← rσ]]] alg
, (4)
⊥ = [[t]] alg (1) alg (4)
alg (2) ′ alg
= [[t[u ← lσ]]] = [[t[u ← rσ]]] = [[t ]] .
und insgesamt gilt
Somit ist [[t ′ ]] alg = ⊥ und nach (3) [[t ′ ]] alg
Dli = ⊥. Dies steht im Widerspruch zu der Annahme,
P
∗
daß t ein bezüglich −−→ minimaler Term mit der Eigenschaft (∗) ist.
P,li
✷