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146 KAPITEL 6. UNTERSUCHUNG DER ς-SEMANTIKEN
Definition 6.8 Partielle Algebra (vgl. mit Def. der Algebra in 2.3)
Sei Σ eine beliebige Signatur. Eine partielle (Σ-)Algebra=〈A, α〉 besteht aus einer nichtleeren
Menge A, dem Träger, und einer Zuweisung α : Σ→Opspart (A), die jedem n-stelligen
Operationssymbol f ∈ Σn eine n-stellige partielle Operation α(f) ∈ Opspart n (A) zuweist. Statt α(f)
schreiben wir meistens f. Alg part
Σ bezeichnet die Klasse aller partiellen Σ-Algebren. ✷
Wir übertragen einige der bisher für totale Algebren definierten Begriffe auf partielle Algebren.
Definition 6.9 Kanonische Halbordnung partieller Algebren
(vgl. mit Def. der kanonischen Halbordnung von Algebren in 2.3)
Sei Σ eine beliebige Signatur. Sei A eine nicht-leere Menge.
Alg part
part
Σ (A) := {∈Alg Σ |=〈A, α〉, α beliebig}
ist die Menge aller partiellen Σ-Algebren des Trägers A.
Die kanonische Halbordnung partieller Σ-Algebren des Trägers A,
〈Alg part
Σ (A), ⊑〉,
g
ist definiert durch
⊑⇐⇒ ∀g ∈ Σ. g
für alle,∈Alg part
Σ (A). ✷
Definition 6.10 Algebraische Termsemantik bezüglich einer partiellen Algebra
(vgl. mit Def. 3.10, S. 47, der algebraischen Termsemantik)
Sei=〈A, α〉 eine partielle Σ-Algebra, Y ⊆ X und β : Y →A eine Variablenbelegung. Die algebraische
Termsemantik bezüglich der partiellen Algebra
[[·]] alg
: TΣ(Y )A ,β
ist für einen Term t ∈ TΣ(Y ) induktiv definiert durch
[[x]] alg
,β := β(x)
[[g(ˆt1, . . .,ˆtn)]] alg
:= g([[ˆt1]] ,β alg
, . . .,[[ˆtn]] ,β alg
) , falls [[ˆt1]] ,β alg
, . . . , [[ˆtn]] ,β alg
definiert sind. ,β
Andernfalls ist [[g(ˆt1, . . . , ˆtn)]] alg
,β undefiniert.
für alle x ∈ Y und g (n) ∈ Σ.
Bei Termsemantiken von Grundtermen wird β meist weggelassen. ✷
Da wir keinen Homomorphismus für partielle Algebren definiert haben und es deren wie erwähnt
drei verschiedene gibt, können wir die algebraische Termsemantik bezüglich partieller Algebren
auch nicht als den eindeutig bestimmten Einsetzungshomomorphismus bezeichnen.
Es ist zu beachten, daß die algebraische Termsemantik bezüglich einer partiellen Algebra eine
partielle Abbildung ist. Eine Variablenbelegung ist jedoch auch hier immer total.