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5.2. DIE ς-FIXPUNKTSEMANTIK 95
Lemma 5.20 ω-Stetigkeit der ς-Transformation
Die ς-Transformation ΦP,ς ist ω-stetig.
Beweis:
Im folgenden wird ΦP,ς durch Φ abgekürzt.
Es ist zu zeigen, daß für alle ω-Ketten T = (j)j∈IN mitj ∈ IntΣ,ς die kleinste obere Schranke
Φ(T) existiert und Φ(T) = Φ( T) ist. Dafür ist zu zeigen, daß für alle f (n) ∈ F( ˙∪ H) und
alle t ∈ (TC,ς) n
existiert und
ist.
Es gilt
f ⊔Φ(T) (t) =: e
e = f Φ(⊔T) (t)
e = f ⊔Φ(T) (t) = ( f Φ(T) )(t) =: e2,
da ffür alle∈IntΣ,ς gemäß der Definition der ς-Interpretationen ω-stetig ist. Weiterhin ist
nach der Definition der kanonischen Halbordnung von Funktionen
e2 = (f Φ(t) (t)) =: e3.
Da die f Φ(t) (t) schlicht Elemente des ω-vollständigen Rechenbereichs TC,ς sind und aufgrund der
ω-Ketteneigenschaft von T eine ω-Kette bilden, existiert e3 und somit auch e.
Fall 1: t wird mit der linken Seite einer Reduktionsregel f(p)→r von einer Variablenbelegung β :
Var(p)→TC,ς semantisch ς-gematcht.
Nach Definition der ς-Transformation gilt
e3 = [[r]] alg
T,β =: e4.
Mit der ω-Stetigkeit der algebraischen Semantik bezüglich der Algebra nach Lemma 5.16,
folgt
e4 = [[r]] alg
⊔T,β =: e5.
Erneute Anwendung der Definition der ς-Transformtion ergibt schließlich
e = e5 = f Φ(⊔T) (t).
Fall 2: t ist mit keinem Redexschema semantisch ς-matchbar.
Aus der Definition der ς-Transformation folgt direkt
e = e3 = ⊥ = ⊥ = f Φ(⊔T) (t).
✷