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104 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
gilt. Die einfachere Definitionsform vermittels der Konstruktornormalform ist für jede ς-Reduktionssemantik
möglich, deren kanonische Ordnung des Rechenbereichs flach, also gleich 〈T⊥ C , ✂〉
ist.
Aus dem neugewonnenen Blickwinkel der ς-Semantiken sehen wir somit, daß der Unterschied zwischen
Reduktionssemantiken der cbv- und der cbn-Semantik nur scheinbar auf der Position im
Term (inner- oder outermost) der reduzierten Redexe beruht. Stattdessen liegt der wesentliche Unterschied
in den verschiedenen Arten von Redexen (cbv- oder cbn-Redexe), die reduziert werden.
Die ς-Semantiken sind, auch wenn sie abgesehen von der cbv- und der cbn-Semantik und vielleicht
noch den zwei anfangs erwähnten Mischformen nie in realen Programmiersprachen eingesetzt werden,
in einem weiteren Punkt nützlich: Die cbv-Auswertung erweist sich in der Praxis als effizienter
implementierbar als die cbn-Auswertung. Insbesondere aufgrund der Möglichkeiten der unendlichen
Datenstrukturen besitzen jedoch viele moderne funktionale Programmiersprachen wie Miranda und
Haskell cbn-Semantik. Das Effizienzproblem wird dann mit einer Striktheitsanalyse angegangen, die
beispielsweise mit der schon erwähnten abstrakten Interpretation durchgeführt werden kann. Diese
bestimmt — soweit möglich — welche Operationen an welchen Argumentstellen strikt sind. An diesen
Stellen kann dann der effizientere cbv-Auswertungsmechanismus eingesetzt werden. Insgesamt
entsteht so eine Mischung von cbv- und cbn-Auswertung.
Die ς-Semantiken bieten hierfür eine theoretische Grundlage. Man führt die Striktheitsanalyse im
Rahmen einer cbn-Semantik durch. Aus der Definition der ς-Fixpunktsemantik ist leicht ersichtlich,
daß die erzwungene Striktheit einer Argumentstelle eines Operationssymbols von nicht-strikt zu
strikt geändert werden kann, wenn die Operation an dieser Argumentstelle strikt ist, ohne dadurch
die Semantik (den Datentyp) des Programms zu verändern. Aus der Striktheitsanalyse gewinnt man
somit eine möglichst strikte“ erzwungene Striktheit ς mit D
” fix
P,ς = Dfix P,cbn . Berechnungen können
nun mit einer ς-Reduktionssemantik erfolgen.
Die Korrektheit eines derart optimierenden Interpreters oder Compilers ließe sich also durch den
Beweis der Übereinstimmung mit einer ς-Reduktionssemantik nachweisen.
5.3.3 Die Wohldefiniertheit
Wir beweisen nun noch die Wohldefiniertheit der allgemeinen ς-Reduktionssemantik und der po-ς-
Reduktionssemantik. Die hierfür bewiesenen zentralen Lemmata 5.23 und 5.24 sind auch für den
Beweis der Übereinstimmung der ς-Fixpunkt- und der ς-Reduktionssemantiken in 5.5 von großer
Bedeutung.
Zuerst zeigen wir eine Hilfsaussage für das darauf folgende Lemma.
Lemma 5.22 Vertauschung von semantischer Approximation und Teiltermersetzung
Seien t, t ′ ∈ TΣ Grundterme und u ∈ Occ(t). Dann ist
Beweis:
[[t[u ← t ′ ]]] alg
⊥ς
u = ε: [[t[ε ← t ′ ]]] alg
⊥ς = [[t′ ]] alg
= [[t]]alg
⊥ς ⊥ς [ε ← [[t′ ]] alg
⊥ς ].
u = i.u ′ : (i ∈ IN+)
= [[t]]alg
⊥ς [u ← [[t′ ]] alg
⊥ς ].