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78 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Unsere früheren Definitionen 4.4 und 4.8 der cbv- respektive cbn-Transformation beinhalten diese
Bedingung nicht; sie ist in beiden Fällen schon automatisch durch die Gültigkeit der restlichen
Bedingung erfüllt, wie wir gleich in Abschnitt 5.2.2 zeigen werden.
Die Definition des ς-Fixpunktdatentyps und der ς-Fixpunktsemantik ist erwartungsgemäß.
Definition 5.7 ς-Fixpunktdatentyp und ς-Fixpunktsemantik
Der ς-Fixpunktdatentyp Dfix des Programms P ist definiert als der kleinste Fixpunkt der ς-
Transformation ΦP,ς:
P,ς
D fix
P,ς := Fix(ΦP,ς) =
i∈IN
(ΦP,ς) i (⊥ς).
Die ς-Fixpunktsemantik [[t]] fix
P,ς des Grundterms t ∈ TΣ bezüglich P ist definiert als die algebraische
Grundtermsemantik von t bezüglich des ς-Fixpunktdatentyps:
[[t]] fix
P,ς := [[t]] alg
Dfix .
P,ς
Wie wir schon bei der cbv-Fixpunktsemantik erwähnten, definieren wir die Hilfsoperationen genauso
wie die Funktionsoperationen durch die ς-Transformation und nicht schon in der ς-Interpretation,
weil diese Betrachtung der Programme mit Hilfsfunktionen als spezielle Programme mit Pattern die
Definition der (ς-)Fixpunktsemantik vereinfacht. Die Hilfsoperationen gehören jedoch zum Basisdatentyp
und sind von dem konkreten Programm unabhängig. Daher geben wir diese Operationen
hier noch einmal direkt an.
Lemma 5.1 Hilfsoperationen in der ς-Fixpunktsemantik
Ist P ein Programm mit Hilfsfunktionen, so ergeben sich die Hilfsoperationen wie folgt:
cond Dfix
P,ς
G (t 1, t 2, t 3) =
sel Dfix
P,ς
(t) =
G,i
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎪⎨
für alle condG, selG,i ∈ H und t, t 1, t 2, t 3 ∈ TC,ς.
⎪⎩
⊥ , falls t 1 = ⊥ oder für ein i ∈ {2, 3}
(ς(condG(i) = tt und t i = ⊥)
t 2 , falls eine Variablenbelegung β : {x1, . . .,xn}→TC,ς
mit [[G(x1, . . . , xn)]] alg
⊥ς,β = t 1 = ⊥ existiert
und (ς(condG(3) = ff oder t 3 = ⊥)
t 3 , andernfalls
β(xi) , falls eine Variablenbelegung β : {x1, . . .,xn}→TC,ς
mit [[G(x1, . . .,xn)]] alg
⊥ς,β = t1 = ⊥ existiert
⊥ , andernfalls
Unabhängig von der erzwungenen Striktheit ς sind die Operationen sel Dfix
P,ς
ihren ersten Argumentstellen strikt.
✷
G,i immer und cond Dfix
P,ς
G an
Beweis:
Dies folgt direkt aus der ς-Transformation und den Reduktionsregeln der Hilfssymbole unter Vereinfachung
der Bedingungen des semantischen ς-Matchens bei Ausnutzung der Lemmata in 5.2.2.
✷