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2.2. HALBORDNUNGEN 13
Bemerkung 2.1: ω-Stetigkeit und Monotonie
In der Literatur wird in Definitionen der ω-Stetigkeit die Monotonie meistens vorausgesetzt. Die Existenz
von ϕ(K) ist damit direkt gegeben, und es muß nur noch die Gleichheit ϕ(K) = ϕ( K)
gefordert werden. Diese Definition ist äquivalent zu der gegebenen, erweckt aber den Eindruck,
strenger zu sein. Beim Beweisen der ω-Stetigkeit einer Abbildung erweist sich unsere Definition
auch als praktischer, da andernfalls die Monotonie und die Gleichheit ϕ(K) = ϕ( K) in zwei
getrennten, aber sehr ähnlichen Beweisen gezeigt werden müßten. ✷
Sind=〈A, ≤〉,=〈B, ≤〉 ω-vollständige Halbordnungen, so ist der Abbildungsraum der ωstetigen
Abbildungen, [→] := 〈[A→B], 〉, mit der kanonischen punktweisen Ordnungsrelation
eine ω-vollständige Halbordnung.
Sein ϕ eine Abbildung von einer Menge A in sich selbst. Ein Element a ∈ A mit ϕ(a) = a heißt ein
Fixpunkt von ϕ. Die denotationellen Semantiken, die wir später definieren werden, basieren alle
auf dem folgenden zentralen Satz:
Satz 2.2 Fixpunktsatz von Tarski
Sei=〈A, ≤〉 ω-vollständig und ϕ : A → A ω-stetig. Dann besitzt ϕ einen kleinsten Fixpunkt
in A, nämlich
Fix(ϕ) := {ϕ i (⊥) | i ∈ IN}.
Beweis:
Anhang B.4 in [Fie&Har88], Abschnitt 1.5.2 in [We92]. ✷
Bisher wurden nur Abbildungen mit je einem Argument betrachtet. Die Begriffe Monotonie und ω-
Stetigkeit lassen sich jedoch auch auf mehrstellige Abbildungen kanonisch fortsetzen, ohne daß diese
als einstellige Abbildungen mit einem kartesischen Produktraum als Definitionsbereich aufgefaßt
werden müssen.
Seien 〈A1, ≤1〉, . . .,〈An, ≤n〉 und 〈A, ≤〉 ω-vollständig. Die Funktion ϕ : A1 × A2 × . . . × An → A
ist ω-stetig
gdw. ∀i ∈ [n]. ∀ω-Ketten Ti ⊆ Ai
ϕ( T1, . . ., Tn) = ϕ(T1, . . . , Tn)
gdw. ∀a1 ∈ A1, . . .,an ∈ An. ∀i ∈ [n]. ∀ω-Ketten Ti ⊆ Ai
ϕ(a1, . . . , ai−1, Ti, ai+1, . . .,an) = ϕ(a1, . . .,ai−1, Ti, ai+1, . . .,an).
Die Monotonie mehrstelliger Abbildungen ergibt sich analog.
Sei=〈A, ≤〉 eine ω-vollständige Halbordnung. Ein Element a aus A heißt genau dann ωkompakt,
wenn für jede ω-Kette K ⊆ A
a ≤ K =⇒ ∃a ′ ∈ K. a ≤ a ′
Für jedes Element a von A heißt ein ω-kompaktes Element a ′ von A mit a ′ ≤ a endliche Approximation
von a und wir definieren
Fin(a) := {a ′ ∈ A | a ′ ≤ a und a ′ ist ω-kompakt}
Fin(T) := {Fin(a ′ ) | a ′ ∈ T } für T ⊆ A