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120 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Bemerkung 5.2: Zur po-ς-Reduktionssemantik
Leider läßt sich das auf der Kofinalität beruhende Beweisprinzip nicht für die po-ς-Reduktionssemantik
verwenden. Das Problem der Übertragung des Lemmas 5.38 liegt im Schritt von (2) nach
(4). Gemäß der dann verwendeten Induktionsvoraussetzung würden natürlich t ′ 1 , . . .,t′ n ∈ TΣ mit
für alle l ∈ [n] existieren. Es gilt jedoch dann im allgemeinen nicht:
tl
t = f(t1, . . .,tn)
∗
−−→
po,ς t ′ l (2 ∗ )
∗
−−→
po,ς f(t ′ 1, . . .,t ′ n) (2 ∗ )
Das Problem liegt weniger darin, daß in allen n Teiltermen an den Stellen 1, . . .,n jeweils gleichviele
po-ς-Reduktionsschritte zu erfolgen haben, sondern vielmehr darin, daß die po-ς-Reduktion im
allgemeinen schon vor Erreichen der t ′ 1 , . . .,t′ n die Reduktion an der Stelle ε mit f(p)→r fordert.
Man betrachte hierzu das vorhergehende Beispiel 5.8:
Es wird dort festgestellt, daß
und daher
gilt.
Es gilt auch
jedoch nicht
t1 := h(A) −−→
ς g(A) −−→
ς G(a) = t ′ 1, (2)
t = f(h(A))
∗
−−→
ς f(G(a)). (4)
t1 := h(A) −−→
po,ς g(A) −−→
po,ς G(a) = t ′ 1, (2 ∗ )
t = f(h(A))
∗
−−→
po,ς f(G(a)) =: ˆt. (4 ∗ )
Mit ˆt ist der Induktionsschritt nicht durchführbar. Es läßt sich zwar in (13) anstelle von rσ verwenden,
aber in (14) ist rσ nicht durch ˆt ersetzbar, da
[[r]] alg
1
= β(x) = G(⊥) ✄ ⊥ = [[h(A)]]alg
1
= [[^t]] alg
1 .
Deshalb wird die Übereinstimmung der po-ς-Reduktionssemantik und der allgemeinen ς-
Reduktionssemantik im folgenden rein operationell gezeigt. Daraus folgt die Übereinstimmung
der po-ς-Reduktionssemantik mit der ς-Fixpunktsemantik. Somit gilt die Aussage des Lemmas
5.38 über die Kofinalität der semantischen Approximationen sehr wohl auch für die poς-Reduktionssemantik;
denn die kleinsten oberen Schranken der Approximationen der po-ς-
Reduktions- und der ς-Fixpunktsemantik sind gleich, die Approximationen sind ω-Ketten ωkompakter
Elemente der ω-induktiven Halbordnung der unendlichen Terme, und damit sind nach
einer Anmerkung in 2.2 die beiden Approximationen gegenseitig kofinal. ✷
5.5.3 Vollständigkeit der po-ς- bezüglich der allgemeinen ς-Reduktionssemantik
Wir führen nun den letzten und aufwendigsten Teil des Beweises der Übereinstimmung der drei
Grundtermsemantiken der ς-Semantik.
Die wesentliche Beweisidee besteht darin, mit der allgemeinen Menge der eventually outermost
Reduktionsfolgen zu arbeiten, statt nur po-ς-Reduktionsfolgen zu betrachten. Grob gesprochen