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2.5. TERMERSETZUNGSSYSTEME 35
Beweis:
Seien t
w
−−→ t
l→r ′ eine Reduktion, u < v < w, v ∈ RedOccR(t), u ∈ RedOccR(t ′ ). Also gibt es
v ′ , w ′ ∈ IN∗ + mit v = u.v ′ und w = v.w ′ = u.v ′ .w ′ . Aus der Reduktion folgt die Existenz einer
Substitution σ mit
und somit
und schließlich
t/w = t/u.v ′ .w ′ = lσ
t ′ = t[w ← rσ]
t ′ /u = t/u[v ′ .w ′ ← rσ]
t/u = t ′ /u[v ′ .w ′ ← lσ] (1)
Da u ∈ RedOccR(t ′ ), existiert ein Redexschema ˆ l ∈ RedSR und eine Substitution [t1/x1, . . . , tn/xn] :
Var( ˆ l)→TΣ mit
t ′ /u = ˆ l[t1/x1, . . .,tn/xn] (2)
Weil RedR residual abgeschlossen ist und v \t
w
−−→
l→r t ′ = {v}, ist v ∈ RedOccR(t ′ ). Nach Lemma 2.4
über Redexe und deren Stellen existieren v1, v2 ∈ IN ∗ + mit v = u.v1.v2 und ˆ l/v1 ∈ X, d. h. ˆ l/v1 = xk
für ein k ∈ [n].
Mit (1) und (2) folgt dann insgesamt
t/u (1)
= t ′ /u[v ′ .w ′ ← lσ]
(2)
= ( ˆ l[t1/x1, . . .,tn/xn])[v ′ .w ′ ← lσ]
= ˆ l[t1/x1, . . . , tk[v2.w ′ ← lσ]/xk, . . .,tn/xn]
Somit ist t/u ∈ RedR und also u ∈ RedOccR(t). ✷