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164 KAPITEL 7. SEQUENTIALITÄT
t = H(t ′ 1 , . . .,t′ m): (G = H (m) ∈ C).
Da sel′
G,i(t) = ⊥, muß u ′ = ε sein. Da kein t ′ ☎ t mit sel′
jede Stelle u ∈ Occ(⊥,t) ein Sequentialitätsindex bezüglich u ′ .
G,i(t ′ )/u ′ = ⊥ existiert, ist
t = ⊥: Da sel′
G,i(t) = ⊥, muß auch hier u ′ = ε sein. u := ε ist ein Sequentialitätsindex
bezüglich u ′ .
Also sind die Selektionsoperationen sel′
G,i sequentiell.
Funktionsoperationen: Sei f (n)
∈ F.
Fall 1: P enthält die Programmregel f(x1, . . .,xn)→r.
Da sequentiell ist, ist nach Lemma 7.7 auch die abgeleitete Operation ϕ :
(TC,ς) n→TC,ς, die durch
ϕ(t) := [[r]] alg
,β mit
definiert ist, sequentiell. Es ist
f′
(t) =
β(xi) := t i für alle i ∈ [n],
⊥ , falls ein i ∈ [n] mit t i = ⊥ und ς(f)(i) = tt existiert
ϕ(t) , andernfalls
und somit ist f′
nach Lemma 7.3 über den Erhalt der Sequentialität bei erzwungener
Striktheit sequentiell.
Fall 2: Sonst.
f′
ist überall undefiniert und somit nach Lemma 7.5 sequentiell.
Lemma 7.9 ω-Stetigkeit der Sequentialität
1. Sei (ϕi)i∈IN mit ϕi : (TC,ς) n →TC,ς eine ω-Kette von sequentiellen ω-stetigen Abbildungen.
Dann ist ϕ :=
i∈IN ϕi sequentiell.
2. Sei (i)i∈IN miti ∈ IntΣ,ς eine ω-Kette von sequentiellen ς-Interpretationen. Dann ist:=
i∈INi sequentiell.
Beweis:
1. Sei t ∈ (TC,ς) n mit Occ(⊥,t) = ∅. Sei u ′ ∈ Occ(⊥, ϕ(t). Für alle i ∈ IN gilt entweder
u ′ /∈ Occ(ϕi(t)) oder ϕi(t)/u ′ = ⊥, weil ϕ(t) ☎ ϕi(t) ist. Da ϕ(t) =
i∈IN ϕi(t), und somit
insbesondere Occ(ϕ(t)) =
i∈IN Occ(ϕi(t)), existiert auch ein i ′ ∈ IN mit ϕi ′(t)/u ′ = ⊥. Sei
j die kleinste natürliche Zahl mit ϕj(t)/u ′ = ⊥. Aufgrund der Ordnung der Abbildungen ist
dann auch ϕi(t)/u ′ = ⊥ für alle i ≥ j.
Für alle i ≥ j seien Ui ⊆ Occ(⊥,t) die Menge der Sequentialitätsindexe von ϕi fürt bezüglich
u ′ , d.h.
Ui := {ui ∈ Occ(⊥,t) | ∀ t ′ ☎t. (ϕi( t ′ )/u ′ = ⊥ =⇒ t ′ /ui = ⊥).
✷