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7.3. SEQUENTIALITÄT 161
Es ist v ′ ∈ Occ(⊥, ϕi(t)). Da ϕi sequentiell ist, existiert ein Sequentialitätsindex u ∈ Occ(⊥,t)
von ϕi für t bezüglich v ′ , d. h.
Insgesamt folgt dann
∀ t ′ ☎t. (ϕi( t ′ )/v ′ = ⊥ =⇒ t ′ /u = ⊥).
∀ t ′ ☎t. (ψ( t ′ )/u ′ = ⊥ =⇒ t ′ /u = ⊥).
u ist somit ein Sequentialitätsindex von ψ für t bezüglich u ′ .
Definition 7.2 Sequentielle ς-Interpretation
Eine ς-Interpretation∈IntΣ,ς, deren Operationen gfür alle g ∈ Σ sequentiell sind, heißt
sequentiell. ✷
Lemma 7.3 Erhalt der Sequentialität bei erzwungener Striktheit
Sei n ∈ IN, ϕ : (TC,ς) n →TC,ς eine sequentielle Abbildung und b ∈ IB n ein bool’scher Vektor. Sei
ψ : (TC,ς) n →TC,ς definiert durch
ψ(t) :=
Dann ist ψ ebenfalls sequentiell.
Beweis:
Sei t ∈ (TC,ς) n .
⊥ , falls ein i ∈ [n] mit t i = ⊥ und bi = tt existiert
ϕ(t) , anderfalls
Fall 1: Es existiert ein i ∈ [n] mit t i = ⊥ und bi = tt.
Also ist Occ(⊥,t) = ∅. Es ist Occ(⊥, ϕ(t)) = Occ(⊥, ⊥) = {ε}. Da für alle t ′ ☎t mit t ′ /i = ⊥
auch ψ( t ′ )/ε = ψ( t ′ ) = ⊥ ist, ist u := i ein Sequentialitätsindex von ψ für t bezüglich u ′ .
Fall 2: Sonst.
Es ist ψ(t) = ϕ(t), und auch für alle t ′ ☎ t gilt ψ( t ′ ) = ϕ( t ′ ). Da ϕ sequentiell für t ist, ist
somit auch ψ sequentiell für t.
Lemma 7.4 Sequentialität der Konstruktoroperationen
Seieine ς-Interpretation. Dann sind die Konstruktoroperationen Gfür alle G ∈ C sequentiell.
Beweis:
Sei ϕG : (TC,ς) n →TC,ς definiert durch
für G (n) ∈ C.
ϕG ist sequentiell, denn:
ϕG(t 1, . . .,t n) := G(t 1, . . .,t n)
✷
✷