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2.5. TERMERSETZUNGSSYSTEME 29
Definition 2.2 Residuale Abgeschlossenheit
Eine Redexmenge RedR,I heißt genau dann residual abgeschlossen, wenn für alle Reduktionen
t −−→ t
R,I
′ und alle Stellen u ∈ RedOccR,I gilt:
u \ t −−→
R,I
t ′ ⊆ RedOccR,I(t ′ )
Nicht jede Redexmenge ist residual abgeschlossen. Insbesondere für die Menge aller Redexe eines
beinahe orthogonalen Termersetzungssystems ist dies jedoch gegeben.
Lemma 2.6 Residuale Abgeschlossenheit von RedÊ
Die Menge aller Redexe eines beinahe orthogonalen Termersetzungssystems R, RedR, ist residual
abgeschlossen.
u
Insbesondere ist für eine Reduktion t −−→ t ′ u
und v ∈ RedOccR(t) mit v < u für alle ˆv ∈ v\t −−→ t ′
t/v = t ′ /ˆv.
Beweis:
u
Die Reduktion t −−→ t
l→r ′ mit u ∈ RedOccR(t) erfolge mit der Substitution σ. Sei v ∈ RedOccR(t)
beliebig.
v = u: v \ t
u
−−→ t ′ = ∅ ⊆ RedOccR(t ′ ).
v u: Es ist t ′ /v = t/v und somit v \ t
u
−−→ t ′ = {v} ⊆ RedOccR(t ′ ).
v < u: Da v ∈ RedOccR(t), existiert eine Regel ˆ l→ˆr ∈ R und eine Substitution [t1/x1, . . . , tn/xn] :
Var(l)→TΣ(X) mit
t/v = ˆ l[t1/x1, . . .,tn/xn]
Gemäß Lemma 2.4 über Redexe eines Termes und deren Stellen läßt sich u eindeutig zerlegen
in
u = v.w.u ′
mit ˆ l/w = xk ∈ X für ein k ∈ [n]. Es gilt
t ′ /v = t/v[w.u ′ ← rσ] = ˆ l[t1/x1, . . .,tn/xn][w.u ′ ← rσ] =: e
Aus der Linearität von ˆ l folgt Occ(xk, ˆ l) = {w} und somit gilt:
Also ist auch t ′ /v ein Redex und es gilt v \ t
u < v: Nach Definition ist v \ t
u
v \ t
t ′ /v = e = ˆ l[t1/x1, . . .,tk[u ′ ← rσ]/xk, . . .,tn]
u
−−→ t ′ = {v} ⊆ RedOccR(t ′ ).
u
−−→ t ′ = {u.w ′ .v ′ | v = u.w.v ′ , r/w ′ = l/w ∈ X}. Sei ˆv ∈
−−→ t ′ . Somit ist ˆv = u. ˆw ′ .ˆv ′ mit r/ ˆw ′ = l/ ˆw = ˆx ∈ X und v = u. ˆw.ˆv ′ .
t ′ /ˆv = (t ′ /u)/ ˆw ′ .ˆv ′ = rσ/ ˆw ′ .ˆv ′ = ˆxσ/ˆv ′ = lσ/ ˆw.ˆv ′ = (t/u)/ ˆw.ˆv ′ = t/v
Also ist t ′ /ˆv = t/v ein Redex und es gilt v \ t
u
−−→ t ′ ⊆ RedOcc(t ′ ).
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