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3.1. DIE ABSTRAKTE SYNTAX 41
Definition 3.3 Kanonische Hilfssymbole zu einer Signatur
Sei C eine Signatur. Die dazugehörige Signatur kanonischer Hilfssymbole H ist definiert durch:
H := {cond (3)
G | G ∈ C} (Verzweigungssymbole)
˙∪ {sel (1)
G,i | G(n) ∈ C, i ∈ [n]} (Selektionssymbole)
Dabei soll C ∩ H = ∅ sein. ✷
Die Hilfssymbole fügen wir jetzt als dritte Teilsignatur zu unserer Programmsignatur hinzu.
Definition 3.4 Programmsignatur mit Hilfssymbolen
Sei Σ = (C, F) eine Programmsignatur. Sei H die Signatur der kanonischen Hilfssymbole zur Signatur
der Konstruktorsymbole C mit H ∩Σ = ∅. Dann heißt Σ ′ := (C, H, F) Programmsignatur
mit Hilfssymbolen. Auch hier verwenden wir oft schlicht Σ ′ = C ˙∪ H ˙∪ F. ✷
Aus folgendem Grund haben wir kombinierte Test- und Verzweigungssymbole condG anstelle eines
einzigen Verzweigungssymbols (if-then-else-fi) und von Testsymbolen für jedes Konstruktorsymbol
(test (1)
G ) definiert: Bei einer Trennung müßten wir die Existenz zweier verschiedener
Konstruktorterme true, false ∈ TC voraussetzen, die durch ihre Verwendung als logische Werte
ausgezeichnet wären. Bei der Verwendung von Sorten würde dies praktisch die Existenz einer Sorte
Boolean voraussetzen. Außerdem ist der Einsatz des Tests im ersten Argument der Verzweigung
üblicherweise dessen einzige Anwendung, so daß wir die beiden auch gleich verschmelzen können.
Definition 3.5 Programm mit Hilfsfunktionen
Sei Σ eine Programmsignatur mit Hilfssymbolen und X eine Variablenmenge. Ein geordnetes Paar
von Termen
f(x1, . . .,xn) → r
mit f (n) ∈ F, x1, . . .,xn ∈ X paarweise verschieden und r ∈ TΣ({x1, . . .,xn}) heißt Programmregel
mit Hilfsfunktionen. Eine endliche Menge P von Programmregeln mit Hilfsfunktionen, die
die Eindeutigkeitsbedingung
f(x1, . . .,xn)→r1, f(y1, . . .,yn)→r2 ∈ P =⇒ f(x1, . . .,xn)→r1 = f(y1, . . .,yn)→r2
erfüllt, heißt Programm mit Hilfsfunktionen. ✷
Die Einhaltung der Konsistenzbedingung
Wenn eine rechte Regelseite r einen Teilterm t ′ = selG,i(t) besitzt, dann hat sie auch
einen Teilterm t ′′ = condG(t, t1, t2), und t ′ ist ein Teilterm von t1, d. h. vor jeder Anwendung
der Selektionsoperation wird sichergestellt, daß t = G(. . .).
Formaler: Zu u ∈ Occ(r) mit r/u = t ′ existieren v, w mit u = v.2.w und r/v = t ′′ .
ist sicherlich vernünftig, wird jedoch nicht verlangt. Auch für den Fall eines Verstoßes gegen diese
Konsistenzbedingung sind die später betrachteten Semantiken definiert.
Die Eindeutigkeitsbedingung besagt, daß zu jedem Funktionssymbol höchstens eine Programmregel
existieren darf. Diese Forderung erfolgt mit der gleichen Intention wie bei der Eindeutigkeitsbedingung
der Programme mit Pattern. Es handelt sich schlicht um eine angepaßte Form dieser Eindeutigkeitsbedingung,
abgesehen davon, daß hier auch direkt der triviale Fall, daß zwei Programmregeln