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62 KAPITEL 4. DIE STANDARDSEMANTIKEN
und daher
Somit gilt
Fall 3: Andernfalls.
Analog zu Fall 2 folgt
condG(t1, t2, t3)
Existiert ein Term t⊥ ∈ TΣ mit [[t⊥]] li P
∗
−−→ condG(t1 ↓
P,li P,li, t2, t3) −−→ t2.
P,li
[[condG(t1, t2, t3)]] li P = [[t2]] li P = t 2.
[[condG(t1, t2, t3)]] li P = [[t3]] li P = t 3.
= ⊥, so existiert auch nur ein einziger Datentyp der
li-Reduktionssemantik — unser gerade definierter li-Datentyp Dli P . Andernfalls existieren jedoch
mehrere. Wir haben einen von diesen als li-Datentyp ausgewählt. Diese Auswahl erfolgte natürlich
im Hinblick auf die im folgenden Satz zu beweisende Übereinstimmung von Dli P und Dfix P,cbv . Der
Datentyp Dli P ist jedoch noch auf eine andere Weise ausgezeichnet: Ergänzen wir unser Programm
P um ein neues Funktionssymbol undef und eine Programmregel
zu einem Programm P ′ , so ist [[undef]] li
P
undef → undef
′ = ⊥. Die meisten Operationen des nun wieder eindeutigen
Datentyps der li-Reduktionssemantik, Dli P ′, unterscheiden sich jetzt von den entsprechenden Operationen
der Datentypen der li-Reduktionssemantik des Programms P; abgesehen von dem einen
Datentyp Dli P . Dli P ′ ist schlicht die Ergänzung von Dli P um die eine Operation des Funktionssymbols
undef. Der li-Datentyp Dli P ist der einzige kompositionelle Datentyp aller Datentypen der li-
Reduktionssemantik. Da die schrittweise Erweiterung eines Programms um zusätzliche Funktionen
eine übliche Vorgehensweise ist, ist der Erhalt des bisher definierten Datentyps, also die Kompositionalität
der Semantik, wünschenswert. Wir werden in Kapitel 6 noch einmal darauf eingehen.
Satz 4.5 Übereinstimmung der Datentypen Dli Èund Dfix Der li-Datentyp ist gleich dem cbv-Fixpunktdatentyp:
D li P = D fix
P,cbv.
Ècbv
Beweis:
Wir zeigen in 3 Schritten, daß Dli P = 〈T⊥C , ✂, α〉 ebenfalls der kleinste Fixpunkt der cbv-
Transformation ΦP,cbv und somit gleich D fix
P,cbv ist.
Schritt 1: Dli P ist eine cbv-Interpretation.
, ✂〉 ist die flache Halbordnung des Rechenbereichs.
〈T ⊥ C
Für alle G (n) ∈ C und t 1, . . .,t n ∈ TC gilt
also
G(t 1, . . .,t n) = G(t 1, . . . , t n)↓ P,li ,
G Dli
P (t 1, . . .,t n) = [[G(t 1, . . . , t n)]] li P = G(t 1, . . . , t n).
Auch sind alle Konstruktor-, Funktions- und Selektionsoperationen strikt. Ebenso sind die
Verzweigungsoperationen gemäß Definition im ersten Argument strikt. Aus dieser Striktheit
✷