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66 KAPITEL 4. DIE STANDARDSEMANTIKEN
Die cbn-Transformation unterscheidet sich von der cbv-Transformation im wesentlichen nur durch
die fehlende Erzwingung der Striktheit der Operationen. Da die Nicht-Striktheit der Verzweigungsoperationen
an der 2. und 3. Argumentstelle somit kein Problem mehr darstellt, ist eine getrennte
Definition der Hilfsoperationen hier auch nicht mehr nötig.
Definition 4.8 cbn-Transformation
Die cbn-Transformation zu dem Programm P über Σ,
ist definiert durch
⎧
f ΦP,cbn()
⎪⎨
(t) :=
⎪⎩
ΦP,cbn : [IntΣ,cbn→IntΣ,cbn],
[[r]] alg
, falls eine Reduktionsregel f(p)→r ∈ ˆP ,β
und eine Variablenbelegung β : Var(p)→T ∞ C,⊥
mit [[p1]] alg
⊥cbn,β = t1, . . .,[[pn]] alg
⊥cbn,β = tn existiert
⊥ , andernfalls
für alle f (n) ∈ F,t ∈ (T ∞ C,⊥ )n und∈IntΣ,cbn. ✷
Es ist zu beachten, daß bei der Definition der cbn-Transformation der Einsatz algebraischer Termsemantiken
wirklich nötig ist. Aufgrund der partiellen und der unendlichen Konstruktorterme ist
eine äquivalente Definition mit Substitutionen (wie bei der cbv-Transformation in Bemerkung 4.2,
S. 58, erwähnt) nicht mehr möglich.
Definition 4.9 cbn-Fixpunktdatentyp und cbn-Fixpunktsemantik
Der cbn-Fixpunktdatentyp Dfix des Programms P ist definiert als der kleinste Fixpunkt der
cbn-Transformation ΦP,cbn:
P,cbn
D fix
P,cbn := Fix(ΦP,cbn) =
i∈IN
(ΦP,cbn) i (⊥cbn).
Die cbn-Fixpunktsemantik [[t]] fix
P,cbn des Grundterms t ∈ TΣ bezüglich P ist definiert als die
algebraische Grundtermsemantik von t bezüglich des cbn-Fixpunktdatentyps:
[[t]] fix
P,cbn := [[t]] alg
Dfix .
P,cbn
Zum Vergleich mit der cbv-Fixpunktsemantik (Bsp. 4.5, S. 59) betrachten wir die cbn-Fixpunktsemantik
des für die Normalformsemantik so problematischen Programms aus Beispiel 3.6, S. 45.
Als algebraische Termsemantik ist die cbn-Fixpunktsemantik natürlich invariant.
Beispiel 4.6 Bestimmung eines cbn-Fixpunktdatentyps
liste1 → []:liste1
liste2 → [[]]:liste2
head(x:xs) → x
✷