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128 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
2. Da ˆ Pi+1 \ Pi+1 ⊆ NOuterR,I(si+1) und u ∈ OuterR,I(ˆsi+1) und nach Lemma 5.43
non-outermost I-Reduktion keine outermost I-Redexstellen erzeugen kann, ist u ∈
OuterR,I(si+1).
3. Da ˆ Pi+1\Pi+1 ⊆ NOuterR,I(si+1) und u ∈ OuterR,I(si+1), ist u /∈ ˆ Pi+1\Pi+1. Zusammen
mit u /∈ Vi+1 \ ˆ Pi+1 folgt u /∈ ( ˆ Pi+1 \ Pi+1) ∪ (Vi+1 \ ˆ Pi+1) = Vi+1 \ Pi+1.
Lemma 5.47 Abgeschlossenheit der eventually outermost Reduktionsfolgen unter
Residuenbildung
Sei RedR,I residual abgeschlossen und outer. Sei A = t1 −−→
R,I
t2 −−→
R,I
. . . eine I-Reduktionsfolge
V1
und B = t1 −−→
R,I
t ′ 1 eine I-Reduktion.
Dann ist A \ B eine eventually outermost I-Reduktionsfolge.
Beweis:
Sei A = t1
U1 −−→ t2
R,I
U2 −−→ . . . und A \ B = t
R,I
′ 1
W1 −−→ t
R,I
′ 2
W2 −−→ . . ..
R,I
Angenommen, A \ B ist nicht eventually outermost. O. B.d. A. existiert eine Redexstelle u ∈
OuterR,I(t ′ 1 ), die in A \ B nicht eliminiert wird, d. h. u ∈ OuterR,I(t ′ i ) und u /∈ Wi für alle i ∈ IN+.
Betrachten wir nun die eventually outermost Hilfskonstruktion zu A nach B mit den in Definition
5.17 verwendeten Bezeichnern.
Aus Lemma 5.46 über den Erhalt eines outermost Redexes in der eventually outermost Hilfskonstruktion
folgt, daß u ∈ OuterR,I(si) und u /∈ Qi für alle i ∈ IN+.
Nach Lemma 5.44 über die Konvergenz in der eventually outermost Hilfskonstruktion existiert ein
l > 1 mit si = ti und Ui = Qi für alle i ≥ l.
Beide Eigenschaften zusammen besagen, daß u ∈ OuterR,I(ti) und u /∈ Ui für alle i > l, für ein
l > 1. Demnach wird u ∈ OuterR,I(tl) nie eliminiert, und A ist nicht eventually outermost. Dies
steht im Widerspruch zu der Voraussetzung. ✷
Mit Hilfe der vorausgegangenen Lemmata beweisen wir nun Aussagen über die mit eventually outermost
Reduktionsfolgen erreichbaren semantischen Approximationen. Damit weisen wir schließlich
die Vollständigkeit der po-ς- bezüglich der allgemeinen ς-Reduktionssemantik nach. Diese Aussagen
gelten natürlich nur noch für Programme P mit einer erzwungenen Striktheit ς.
Lemma 5.48 Einfache Dominanz von eventually outermost ς-Reduktionsfolgen
Sei A = t1 −−→
P,ς
t2 −−→
P,ς
V1
. . . eine ς-Reduktionsfolge und B = t1 −−→
P,ς
t ′ 1 eine ς-Reduktion.
Dann existiert ein l ∈ IN+ mit
[[t ′ 1]] alg alg
✂ [[tl]] ⊥ς ⊥ς .
Beweis:
Betrachten wir die eventually outermost Hilfskonstruktion zu A nach B mit den in Definition 5.17
verwendeten Bezeichnern.
Wir zeigen durch vollständige Induktion, daß [[t ′ 1 ]]alg
alg
✂ [[si]] für alle i ∈ IN+.
⊥ς ⊥ς
i = 1: Es ist t1 −−→
P,o,ς s1 −−→
P,no,ς t′ 1 . Nach Lemma 5.23, S. 105, über Informationsgewinn bei Reduktion
ist [[t ′ 1 ]]alg
⊥ς
= [[s1]] alg
⊥ς
✷