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122 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN
Die folgenden, auf [O’Do77] zurückgehenden Definitionen und Lemmata gelten nicht nur für unsere
Programme mit einer erzwungenen Striktheit. Im folgenden sei daher I eine Instanz eines beinahe
orthogonalen Termersetzungssystems R mit der I-Redexmenge RedR,I.
Wir definieren nun formal die Elimination einer outermost Redexstelle und eventually outermost
Reduktionsfolgen.
Definition 5.15 Elimination einer outermost Redexstelle (vgl. Def. 30 in [O’Do77])
U1 U2 U3
Sei t1 −−→ t2 −−→ t3 −−→ . . . eine Reduktionsfolge mit u ∈ OuterR,I(tk), k ∈ IN+. Die outermost
I I I
Redexstelle u wird genau dann in tl eliminiert, wenn l der kleinste Index größer k mit
u ∈ Ul−1 oder u /∈ OuterR,I(tl)
ist. ✷
Man beachte, daß für alle i ∈ {k, k + 1, . . .,l − 2}
Wenn u ∈ Ul−1, so ist
u \ ti
u \ tl−1
Ui −−→ ti+1 = {u}.
I
Ul−1
−−→ tl = ∅,
I
was nicht u /∈ RedOccR,I(tl) impliziert; andernfalls ist
u \ tl−1
Ul−1
−−→ tl = {u} ⊆ NOuterR,I(tl).
I
Definition 5.16 Eventually outermost ς-Reduktionsfolge
(vgl. Def. 31 in [O’Do77]; Def. 7.5 von outermost-fair in [Ber&Klop86]).
Eine I-Reduktionsfolge t1 −−→ t2 −−→ t3 −−→ . . . heißt genau dann eventually outermost,
I I I
wenn
∀k ∈ IN+. ∀u ∈ OuterR,I(tk). ∃l > k. u wird in tl eliminiert.
Man beachte, daß jede endliche eventually outermost Reduktionsfolge mit der I-Normalform des
Startterms t1 endet.
Die folgenden Eigenschaften von Reduktionen (5.41 – 5.43) werden wir im weiteren häufig brauchen.
Lemma 5.41 Erhalt von unabhängigen non-outermost Redexstellen
Sei RedR,I residual abgeschlossen. Dann gilt:
Beweis:
t
U
−−→ t
I
′ ist eine I-Reduktion, U V, V ⊆ NOuterR,I(t) =⇒ V ⊆ NOuterR,I(t ′ ).
U
−−→
Sei v ∈ V . Wegen v U ist v \ t t
I
′ = {v}, also aufgrund der residualen Abgeschlossenheit
v ∈ RedOccR,I(t ′ ). Da v ∈ NOuterR,I(t), existiert w ∈ RedOccR,I(t) mit w < v. Für alle u ∈ U
U
ist u ≤ w, weil u v. Somit ist w \ t −−→ t
I
′ = {w}, also w ∈ RedOccR,I(t ′ ). Insgesamt folgt
v ∈ NOuterR,I(t ′ ). ✷
✷