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122 KAPITEL 5. DIE ς-SEMANTIKEN<br />

Die folgenden, auf [O’Do77] zurückgehenden Definitionen und Lemmata gelten nicht nur für unsere<br />

Programme mit einer erzwungenen Striktheit. Im folgenden sei daher I eine Instanz eines beinahe<br />

orthogonalen Termersetzungssystems R mit der I-Redexmenge RedR,I.<br />

Wir definieren nun formal die Elimination einer outermost Redexstelle und eventually outermost<br />

Reduktionsfolgen.<br />

Definition 5.15 Elimination einer outermost Redexstelle (vgl. Def. 30 in [O’Do77])<br />

U1 U2 U3<br />

Sei t1 −−→ t2 −−→ t3 −−→ . . . eine Reduktionsfolge mit u ∈ OuterR,I(tk), k ∈ IN+. Die outermost<br />

I I I<br />

Redexstelle u wird genau dann in tl eliminiert, wenn l der kleinste Index größer k mit<br />

u ∈ Ul−1 oder u /∈ OuterR,I(tl)<br />

ist. ✷<br />

Man beachte, daß für alle i ∈ {k, k + 1, . . .,l − 2}<br />

Wenn u ∈ Ul−1, so ist<br />

u \ ti<br />

u \ tl−1<br />

Ui −−→ ti+1 = {u}.<br />

I<br />

Ul−1<br />

−−→ tl = ∅,<br />

I<br />

was nicht u /∈ RedOccR,I(tl) impliziert; andernfalls ist<br />

u \ tl−1<br />

Ul−1<br />

−−→ tl = {u} ⊆ NOuterR,I(tl).<br />

I<br />

Definition 5.16 Eventually outermost ς-Reduktionsfolge<br />

(vgl. Def. 31 in [O’Do77]; Def. 7.5 von outermost-fair in [Ber&Klop86]).<br />

Eine I-Reduktionsfolge t1 −−→ t2 −−→ t3 −−→ . . . heißt genau dann eventually outermost,<br />

I I I<br />

wenn<br />

∀k ∈ IN+. ∀u ∈ OuterR,I(tk). ∃l > k. u wird in tl eliminiert.<br />

Man beachte, daß jede endliche eventually outermost Reduktionsfolge mit der I-Normalform des<br />

Startterms t1 endet.<br />

Die folgenden Eigenschaften von Reduktionen (5.41 – 5.43) werden wir im weiteren häufig brauchen.<br />

Lemma 5.41 Erhalt von unabhängigen non-outermost Redexstellen<br />

Sei RedR,I residual abgeschlossen. Dann gilt:<br />

Beweis:<br />

t<br />

U<br />

−−→ t<br />

I<br />

′ ist eine I-Reduktion, U V, V ⊆ NOuterR,I(t) =⇒ V ⊆ NOuterR,I(t ′ ).<br />

U<br />

−−→<br />

Sei v ∈ V . Wegen v U ist v \ t t<br />

I<br />

′ = {v}, also aufgrund der residualen Abgeschlossenheit<br />

v ∈ RedOccR,I(t ′ ). Da v ∈ NOuterR,I(t), existiert w ∈ RedOccR,I(t) mit w < v. Für alle u ∈ U<br />

U<br />

ist u ≤ w, weil u v. Somit ist w \ t −−→ t<br />

I<br />

′ = {w}, also w ∈ RedOccR,I(t ′ ). Insgesamt folgt<br />

v ∈ NOuterR,I(t ′ ). ✷<br />

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