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152 KAPITEL 6. UNTERSUCHUNG DER ς-SEMANTIKEN<br />

• Wie schon erwähnt, kennt man mehrere verschiedene Homomorphismen für partielle Algebren.<br />

Durch die Verwendung des sogenannten totalen Homomorphismus partieller Algebren<br />

wird die kanonische Halbordnung partieller cbv-Interpretationen, und damit Halbordnungen<br />

generell, überflüssig. Sindundpartielle Algebren, so heißt eine totale Abbildung h : A→B<br />

genau dann totaler Homomorphismus vonnach, wenn für alle g (n) ∈ Σ und a1, . . .,an ∈ A<br />

gilt:<br />

g(a1, . . .,an) definiert =⇒ g(h(a1), . . .,h(an)) definiert und<br />

h(g(a1, . . .,an)) = g(h(a1), . . .,h(an)).<br />

Der partielle cbv-Datentyp D part<br />

P,cbv des Programms ist schlicht das initiale partielle Modell aller<br />

partiellen cbv-Interpretationsmodelle des Programms. Im Prinzip wird hier die Halbordnung<br />

nur in den Homomorphismus verlagert. Es bleibt das Problem, zu beweisen, daß dieses initiale<br />

partielle Modell auch existiert.<br />

• Statt durch die Definition von partiellen cbv-Interpretationen den gewünschten Träger TC<br />

und die Konstruktoroperationen festzulegen, wird ein Definiertheitsprädikat eingeführt. Dieses<br />

Definiertheitsprädikat D legt fest, daß die Semantik bestimmter Terme definiert sein<br />

muß: D(t) ist genau dann in einer partiellen Algebragültig, wenn [[t]] alg<br />

für alle β : X→A ,β<br />

definiert ist. Zu den Reduktionsregeln werden die Definiertheitsformeln D(G(x1, . . .,xn)) für<br />

alle Konstruktorsymbole G (n) ∈ C hinzugenommen. In der initialen partiellen Algebra aller<br />

partiellen Modelle sind nun einerseits die semantischen Werte aller Konstruktorgrundterme<br />

paarweise verschieden, andererseits existieren im Träger auch keine nicht durch einen Konstruktorterm<br />

denotierten Elemente. Auch die Konstruktoroperationen sind direkt passend<br />

festgelegt. Die initiale partielle Algebra aller partiellen Modelle eines um Definiertheitsformeln<br />

erweiterten Programms ist isomorph zu der gerade genannten initialen partiellen Algebra aller<br />

cbv-Interpretationsmodelle.<br />

Während das Prinzip des initialen cbv-Interpretationsmodells bezüglich totaler Homomorphismen<br />

unabhängig von der Verwendung eines Definiertheitsprädikats ist, ist die umgekehrte Unabhängigkeit<br />

nicht gegeben. Die Definition einer Halbordnung von partiellen Algebren setzt einen vorgegebenen,<br />

festen Träger voraus (vgl. Def. 6.9).<br />

Da für totale Algebren kein Analogon zum totalen Homomorphismus partieller Algebren existiert,<br />

lassen sich die hier beschriebenen Methoden bei diesen nicht anwenden. ✷

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