Download (1405Kb)

152 KAPITEL 6. UNTERSUCHUNG DER ς-SEMANTIKEN
• Wie schon erwähnt, kennt man mehrere verschiedene Homomorphismen für partielle Algebren.
Durch die Verwendung des sogenannten totalen Homomorphismus partieller Algebren
wird die kanonische Halbordnung partieller cbv-Interpretationen, und damit Halbordnungen
generell, überflüssig. Sindundpartielle Algebren, so heißt eine totale Abbildung h : A→B
genau dann totaler Homomorphismus vonnach, wenn für alle g (n) ∈ Σ und a1, . . .,an ∈ A
gilt:
g(a1, . . .,an) definiert =⇒ g(h(a1), . . .,h(an)) definiert und
h(g(a1, . . .,an)) = g(h(a1), . . .,h(an)).
Der partielle cbv-Datentyp D part
P,cbv des Programms ist schlicht das initiale partielle Modell aller
partiellen cbv-Interpretationsmodelle des Programms. Im Prinzip wird hier die Halbordnung
nur in den Homomorphismus verlagert. Es bleibt das Problem, zu beweisen, daß dieses initiale
partielle Modell auch existiert.
• Statt durch die Definition von partiellen cbv-Interpretationen den gewünschten Träger TC
und die Konstruktoroperationen festzulegen, wird ein Definiertheitsprädikat eingeführt. Dieses
Definiertheitsprädikat D legt fest, daß die Semantik bestimmter Terme definiert sein
muß: D(t) ist genau dann in einer partiellen Algebragültig, wenn [[t]] alg
für alle β : X→A ,β
definiert ist. Zu den Reduktionsregeln werden die Definiertheitsformeln D(G(x1, . . .,xn)) für
alle Konstruktorsymbole G (n) ∈ C hinzugenommen. In der initialen partiellen Algebra aller
partiellen Modelle sind nun einerseits die semantischen Werte aller Konstruktorgrundterme
paarweise verschieden, andererseits existieren im Träger auch keine nicht durch einen Konstruktorterm
denotierten Elemente. Auch die Konstruktoroperationen sind direkt passend
festgelegt. Die initiale partielle Algebra aller partiellen Modelle eines um Definiertheitsformeln
erweiterten Programms ist isomorph zu der gerade genannten initialen partiellen Algebra aller
cbv-Interpretationsmodelle.
Während das Prinzip des initialen cbv-Interpretationsmodells bezüglich totaler Homomorphismen
unabhängig von der Verwendung eines Definiertheitsprädikats ist, ist die umgekehrte Unabhängigkeit
nicht gegeben. Die Definition einer Halbordnung von partiellen Algebren setzt einen vorgegebenen,
festen Träger voraus (vgl. Def. 6.9).
Da für totale Algebren kein Analogon zum totalen Homomorphismus partieller Algebren existiert,
lassen sich die hier beschriebenen Methoden bei diesen nicht anwenden. ✷