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5.2. DIE ς-FIXPUNKTSEMANTIK 79
5.2.2 Das semantische cbv- und cbn-Matchen
Da wir in Kapitel 4 den Begriff des semantischen ς-Matchens noch nicht definiert hatten, wollen
wir nun zeigen, daß die bei den Definitionen 4.4, S. 57, und 4.8, S. 66, der cbv- respektive cbn-
Transformation angegebenen Matchingbedingungen äquivalent zum semantischen cbv- respektive
cbn-Matchen sind. Damit ist dann vollständig bewiesen, daß wir in Kapitel 4 zwei Spezialfälle der
ς-Fixpunktsemantiken definiert haben.
Außerdem werden wir einige der hier bewiesenen Eigenschaften noch in Kapitel 6 benötigen.
Für das semantische cbn-Matchen läßt sich leicht die Äquivalenz mit der in Definition 4.8 der
cbn-Transformation verwendeten Bedingung zeigen.
Lemma 5.2 Charakterisierung des semantischen cbn-Matchens
t ∈ (T ∞ C,⊥ )n ist genau dann mit einem Redexschema f(p) ∈ RedSP vermittels β : Var(p)→T ∞ C,⊥
semantisch cbn-matchbar, wenn für alle i ∈ [n]
Beweis:
[[pi]] alg
⊥cbn,β = ti
⇒: Folgt direkt aus der Definition des semantischen ς-Matchens.
⇐: Durch strukturelle Induktion wird gezeigt, daß für alle c ∈ TC(X) und β : Var(c)→T ∞ C,⊥
gilt.
c = x: (x ∈ X).
x[⊥/x] = ⊥ ✂ β(x) = [[x]] alg
⊥cbn,β .
c = G(c1, . . .,cn): (G (n) ∈ C).
Somit ist für alle i ∈ [n]
c[⊥/Var(c)] ✂ [[c]] alg
⊥cbn,β
c[⊥/Var(c)] = G(c1[⊥/Var(c1)], . . .,cn[⊥/Var(cn)])
I.V.
✂ G([[c1]] alg
alg
⊥cbn,β| , . . .,[[cn]]
Var(c1 ) ⊥cbn,β| Var(cn) )
= G ⊥cbn (. . .)
= [[c]] alg
⊥cbn,β
pi[⊥/Var(pi)] ✂ [[pi]] alg
⊥cbn,β
Da trivialerweise auch f nicht erzwungen strikt fürt ist, istt mit f(p) vermittels β semantisch
cbn-matchbar.
Der entsprechende Beweis für das semantische cbv-Matchen benötigt erst einige Hilfsaussagen.
✷