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5.5. ÜBEREINSTIMMUNG DER DREI ς-SEMANTIKEN 117
für alle ˆt ∈ TΣ(Var(p)).
Die syntaktische ς-Matchbarkeit impliziert
(7) ist insbesondere für ˆt = r gültig:
f(t ′ 1, . . .,t ′ n) −−→
ς rσ. (8)
[[rσ]] alg
i
= [[r]]alg
i,βi
Aus (6) folgt mit der Monotonie der algebraischen Termsemantik bezüglich der
Variablenbelegung gemäß Lemma 5.17, S. 92:
(9)
[[r]] alg
i,β ✂ [[r]]alg . (10) i,βi
Schließlich existiert aufgrund der Induktionsvoraussetzung der Induktion über i ein
t ′ ∈ TΣ mit
und
rσ
∗
−−→ ς t ′
Insgesamt ergeben nun (4), (8) und (11) zusammen
und es gilt
t = f(t1, . . .,tn)
[[t]] alg (1) (10)
alg
i+1 = [[r]] i,β ✂ [[r]] alg
i,βi
(11)
[[rσ]] alg
i ✂ [[t′ ]] alg
. (12)
⊥ς
∗
−−→
ς f(t ′ 1, . . .,t ′ n) −−→
ς rσ
(9) (12)
alg
= [[rσ]] i
Fall 2: Sonst, d.h. es existiert keine passende Reduktionsregel.
Setze t ′ := t und es gilt
t
und
∗
−−→ t ς ′
∗
−−→ ς t ′
✂ [[t ′ ]] alg
⊥ς
[[t]] alg
i+1 = fi ([[t1]] alg alg
i+1 , . . .,[[tn]] i+1 ) = ⊥ ✂ [[t′ ]] alg
⊥ς .
(13)
. (14)
t = G(t1, . . .,tn): (G (n) ∈ C).
Nach Induktionsvoraussetzung der strukturellen Induktion existieren t ′ 1 , . . .,t′ n ∈ TΣ mit
und
tl
∗
−−→
ς t ′ l (1)
[[tl]] alg
i+1 ✂ [[t′ l]] alg
⊥ς
für alle l ∈ [n].
Mit der Monotonie aller Operationen einer ς-Interpretation folgt aus (2)
Gi+1 ([[t1]] alg alg
i+1 , . . .,[[tn]] i+1 ) ✂ Gi+1 ′
([[t 1]] alg
⊥ς , . . .,[[t′ n]] alg
). (3)
Außerdem sind die Operationen einer Konstruktorsymbols in allen ς-Interpretationen
gleich:
Gi+1 = G0 = G ⊥ς . (4)
⊥ς
(2)